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7.5.4 Nicht-Linearität

Grundbedingung eines linearen Regressionsmodells ist, dass die beste Beschreibung der Beziehung der abhängigen und unabhängigen Variablen eine Gerade ist. Nichtlineare Beziehungen können beispielsweise durch Sättigung oder Wachstum bedingt sein. Beispiele für nicht-lineare Funktionen wären beispielsweise Logarithmus-, Exponential-, Quadrat-, Wurzel-, oder Potenzfunktionen. Wäre dies der Fall, müssten die Variablen erst transformiert werden, damit eine lineare Regression durchgeführt werden kann.

Der einfachste Weg um nicht-lineare Beziehungen aufzuzeigen ist, die standardisierten Residuen gegen die standardisierten vorhergesagten Werte in einem Graphen aufzutragen, wie dies in Abbildung 18 gemacht wurde.

Abbildung 18: Plot der standardisierten Residuen und der standardisierten vorhergesagten Werte für das Modell mit der Expertenschätzung

Die Punkte sollten sich vollkommen zufällig um den Nullpunkt herum verteilen. Bilden sie eine Art von Kurve, dann ist die Wahrscheinlichkeit groß, dass die Beziehung nicht linear ist und die Grundprämisse der Linearität verletzt wurde. Die Interpretation einer nicht-linearen Beziehung mittels eines linearen Modells limitiert deutlich die Aussage eines solchen und im Besonderen die Verallgemeinerbarkeit.

Wie in Abbildung 18 ersichtlich, ist die Verteilung der Punkte für das Regressionsmodell mit der Expertenschätzung vollkommen willkürlich. Eine Anordnung entlang einer nicht-linearen Kurve ist nicht auszumachen. Daher ist anzunehmen, dass die Grundprämisse von Linearität hier zutrifft.

Ein ähnliches Bild ergibt sich, wenn die standardisierten Residuen gegen die standardisierten vorhergesagten Werte des Regressionsmodells mit der Selbsteinschätzung aufgetragen werden. Wie in Abbildung 19 (s. S. 90) ersichtlich, ist die Verteilung der Punkte im Raum vollkommen willkürlich. Ein Muster, das auf eine nicht-lineare Beziehung hindeuten würde, ist nicht zu erkennen.

Abbildung 19: Plot der standardisierten Residuen und der standardisierten vorhergesagten Werte für das Modell mit der Selbsteinschätzung

7.5.5 Heteroskedastie

Anhand der gleichen Abbildungen kann auch die letzte der zu testenden Prämissen überprüft werden, die Prämisse der Homoskedastie. Das bedeutet, dass die Residuen einen konstanten Level von Varianz haben. Ist dies nicht der Fall, würde Heteroskedastie vorliegen. Dies kommt im Besonderen dann vor, wenn eine zunehmende Störgröße auftritt und zu immer größer werdenden Messfehlern führt. Ein typisches Beispiel ist nachlassende Aufmerksamkeit einer Versuchsperson oder Abnutzung eines Versuchsgegenstandes in Verlauf eines Versuchs. Ist dies der Fall, dann zeigt sich im Plot der standardisierten Residuen gegen die standardisierten vorhergesagten Werte eine Dreiecksform. Diese kann entweder zusammenlaufend oder auseinanderlaufend sein.

Die Abbildung 20 zeigt beispielhaft, wie die Datenverläufe sein müssten für Fremdeinschätzung und einen systematischen abnehmenden Fehler (links) und für die Selbsteinschätzung und einen systematisch zunehmenden Fehler (rechts). Beides ist auf Basis der Plots nicht ersichtlich.

Abbildung 20: Plot der standardisierten Residuen und der standardisierten vorhergesagten Werte für beide Modelle mit typischen Verläufen für Heteroskedastie

Damit kann festgehalten werden, dass auch die letzte der Prämissen für ein lineares Regressionsmodell erfüllt ist. So ist die Wahl des linearen Regressionsmodells in beiden Fällen legitim und richtig. Die Ergebnisse können entsprechend interpretiert werden.

Alle Modelle, ob mit Fremdoder Selbsteinschätzung, wurden region- und industrieübergreifend vorgenommen, daher stellt sich final noch die Frage, ob die Ergebnisse stabil sind für Einflüsse einzelner Regionen und einzelner Industrien. Außerdem stellt sich die Frage, ob die Ergebnisse sich konsistent über Regionen und Industrien finden lassen oder ob es Unterschiede gibt.

 
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