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4.1.4 Griechische Mathematik

4.1.4.1 Mathematik als Konstruktion

Innerhalb nur weniger Generationen konnte sich die griechische Naturlehre nicht nur aus den tradierten mythologischen Vorstellungsmustern lösen und damit Vorstellungszusammenhänge als Wissensordnungen darstellen, die nach bestimmten Regeln aufzustellen, nach anderen Regeln zu bewerten und die für neue Erfahrungen und auch für Umstellungen im Ordnungsgefüge eines Darstellungszusammenhanges offen waren. Im Kontext der zwar rechentechnisch avancierten Wissenssysteme Babylons und Ägyptens war gerade dies nicht möglich, womit dort zwar Erfahrungen registriert, aber ohne einen weitergehenden Erklärungsanspruch in ein vorgegebenes Denkgefüge eingruppiert wurden. Nicht Passendes war dort schlicht nicht einsichtig zu machen. Solch Unpassendes stand damit dann auch außerhalb des Horizonts eines weiterführenden kulturellen Interesses, das sich so dann nur in seinen tradierten Vorstellungen weiterbewegen konnte. Die griechische Naturphilosophie brach aus diesen Schematismen aus. Und schon mit Platon und Aristoteles waren die Grundlagen einer Wissensordnung formuliert, die dann im Weiteren für die abendländische Wissenschaftskultur zur Leitlinie wurde. Sehr früh war demnach in der Antike ein Darstellungs- und Begründungszusammenhang gefunden und systematisiert worden, auf dem aufbauend Forschung und Lehre, ganz im modernen Sinne, zu organisieren waren. Maßstab dieses neuen Denkens war die Mathematik, ein – nach Platon – auf einsichtigen Axiomen aufgebautes Aussagensystem, in dem Größen aufeinander bezogen, Einheiten definiert und Stringenz und Schlüssigkeit zum Maßstab wissenschaftlichen Argumentierens genommen wurde.

Byssos von Herakleis ein Schüler des Eukleides von Megara, 450–370 v. Chr., zeigt, wie zur Zeit Platons Größen und Größenbeziehungen gedacht und dass hier die Berechnungs- und Maßverfahren der vorgriechischen Antike weitergeführt wurden. Mathematik war hier nicht einfach mehr die Praxis des Rechnens, sondern eine Darstellung der systematischen Beziehungen, in denen wir an der Welt Maß nehmen und so die den Erscheinungen unterliegenden Verhältnisbestimmungen beschreiben. Für Platon war das Gefüge der Welt in diesen Relationen beschrieben. Deren Relationen, die die Mathematik offenzulegen vermochte, und nicht deren jeweils wechselnde Erscheinungen zeigten, was diese Welt ist. Das Mathematische war damit ein Verfahren, in dem sich das Denken über das, was die Erfahrung präsentierte, sichern konnte. Damit war aus der Mathematik dann auch die Erfahrung als dasjenige, was in die Systematik eines schon gewissen, mathematisch erschlossenen Bezuges einzubringen war, gesichert. Das Mathematische wurde denn auch zum Maßstab alles Denkens. Platon ging es nun darum, für diese Mathematik die Regeln, mit denen wir Maß nehmen, und damit die Möglichkeiten, in denen wir die Welt und uns selbst denken, zu bestimmen. So waren sie zu sichern; und im Beweis ihrer inneren Abstimmung waren nun auch Kriterien zu finden, nach denen wir das, was wir zu wissen meinten, dann auch zu bemessen vermochten. Damit wurde das mathematische Denken abstrakt, es schloss von der Qualität der in ihm erfassten Größen auf die für diese Größen möglichen In-BezugNahmen.

Der Kreis, so schreibt Byssos von Herakleis ist größer als jedes eingeschriebene Quadrat und kleiner als jedes ihn umschreibende Polygon. Wozu es aber – so fährt er in seinen Überlegungen fort – ein Größeres und Kleineres gibt, dazu gibt es auch ein Gleiches. Es gibt nun größere und kleinere Polygone zum Kreis, also gibt es auch ein ihm gleiches. Und somit muss der Kreis auch zu quadrieren sein. Mit diesen Aussagen zur Eingrenzung einer Kreisbahn in ein größeres und ein kleineres Polygon ist so zunächst ein Näherungsverfahren gewonnen, den Kreis als eine geometrische Größe als eine mit geraden Linien abgegrenzte und damit in Maßzahlen zu berechnende Fläche zu beschreiben. Byssos geht aber nun noch weiter. Er denkt die Folge der sich immer weiter differenzierenden Polygone, sieht nun aber nicht den unendlichen Raum, in dem sich unserer Vorstellung nach diese Größen nur annähern, sondern denkt die Folge der Annäherungen als eine Funktion, in der er das Große in das Kleine überführt. Und in der Tat scheinen die sich annähernden Polygonzüge doch in dem Konstruktionsbefehl „immer kleiner“ & „immer größer“ ineinander überführbar zu sein. Das bedeutet dann aber auch, dass in dieser Reihe irgendwann einmal die Grenze zwischen dem größeren und dem kleineren Polygonzug fällt. Diese Grenze markiert der Kreis, der sich so – in Folge der Überlegung von Byssos – als eine eigenständige Größe auflöst, da sich irgendwann einmal ja die beiden, der größere und der kleinere Polygonzug ineinander überführen lassen. Größen sind hier als Anschauungsgrößen bestimmt, die sich ineinander überführen lassen. Es sind noch keine bloßen Maßrelationen, in denen die Größen der Fläche von Kreis, Polygonzug a und Polygonzug b nebeneinandergestellt und in ihrer relativen Dimension als Größe bemessen werden. Es sind vielmehr Figuren, die mittels einer Konstruktionsbeschreibung ineinander überführt werden. Gilt dies, kann ich nunmehr aber auch weiter folgern, dass das, was für einen Kreis gilt, auch für einen Teilkreis Geltung hat. Genauso wie ich den ganzen Kreis in zwei Polygonzügen umfangen und letztlich in diese überschreiben kann, kann ich dies auch für einen Teilkreis tun. Eine Fläche unter einer gekrümmten Geraden kann ich als solch einen Teilkreis, oder als eine Folge von Teilkreisen bestimmen. Entsprechend sind dann auch Flächen unter gekrümmten Graden nach einem solchen Verfahren zumindest näherungsweise zu beschreiben. Dieses Verfahren fanden wir bei Eudoxos formuliert.

So entdeckt eine Maß nehmende Mathematik Verfahren, in denen Größen aufeinander bezogen und damit zwischen ihnen Maß genommen werden kann. Maße sind demnach nicht mehr nur einfach das Resultat einer Messung. Vielmehr beschreiben sie Größen und setzen diese im Maß zueinander in Bezug. Das Verfahren, in dem dies geschieht, gibt die Art und Weise an, wie sich Größen derart unter ein gemeinsames Maß finden und so, unabhängig von ihrer anschaulichen Differenz, ineinander zu überführen oder eben nur in Bezug auf ihre Größe zueinander zu bestimmen sind. Hier ist Byssos noch weniger differenziert als Eudoxos, der zunächst ein Näherungsverfahren formuliert, aus diesem Verfahren aber noch nicht ableitet, dass mit der Methode der Größenbestimmung auch die Qualität dessen, was da als Größe bestimmt ist, über das Verfahren zu definieren ist. Denn so wäre in Konsequenz die Fläche unter einer Geraden ja nur die Folge von Säulen. Denken wir diese Säulen als unendlich kleine Größen, so würden wir heute damit auch umgehen können. Nur wäre damit eine unendliche Größe zur Bemessung einer bisher unbestimmten Figur bestimmt. So aber wäre, mit dem Verweis, ein Endliches im Unendlichen zu bemessen, in einem Denken, das Maß zu nehmen sucht, das Maß so doch zunächst verloren. So denkt denn Byssos auch nicht die unendliche Annäherung zweier Figuren – des oberen Polygonzuges an den Kreis, respektive des unteren Polygonzuges an den Kreis. Vielmehr denkt er in dem Verfahren solch eines In-Bezug-Setzens die Identität dessen, was hier in Relation gesetzt wurde, erwiesen zu haben. Er nimmt also das Verfahren selbst als Maß – das Aneinander-Maß-Nehmen der Figuren überführt sie seiner Auffassung nach ineinander. Das ist der Hintergrund seiner Behauptung, dass hier der Satz: wovon es ein Größeres und ein Kleineres gibt, dafür gibt es ein Gleiches, anzuwenden ist.

Hier zeigt sich, dass die griechische Mathematik ihre Regeln aus der Darstellung der Konstruktion, mit der sie in der Geometrie operiert, gewinnt. Wie noch wir in unserer Mathematikausbildung geometrisch darzustellende Beziehungen mittels Lineal und Zirkel konstruieren, um von daher in der Konstruktion zu beweisen, wie sich verschiedene die-ser Größen aufeinander beziehen lassen, so operiert auch die griechische Mathematik. Das bedeutet nun aber, dass sie nicht nur demonstriert, wie sich in der Konstruktion Größen ineinander überführen lassen und so in den Relationen der Größenbeziehungen Maßzahlen zu bestimmen sind. Die Form der Konstruktion selbst tritt damit, dann wenn ich sie nicht nur von Fall zu Fall, sondern als Darstellung dessen, was mir als Verfahren denkbar ist, nutze, in den Blick. So gewinnen die Bedingungen der Konstruktion Interesse. Werden diese erfasst, so grenzen sich in ihnen Konstruktionsprinzipien ein, die, wenn sie als solche erkannt sind, ihrerseits auf den Begriff gebracht werden können, und nunmehr als eine erweiterte Kenngröße mathematischer Verfahren zu beschreiben sind.

Betrachten wir hierzu die Beweisführung des Byssos. Dieser beschreibt ja nun nicht einfach den Fall, dass sich ein größeres und ein kleines Polygon um einen Kreis zeichnen lassen. Er zeigt, dass es zu diesen Polygonen immer noch kleinteiligere gibt, die sich enger an den Kreis anlagern. Es wird also davon ausgegangen, dass es eine Folge von Polygonen gibt, in der die Differenz zwischen dem Kleineren und dem Größeren immer geringer wird. Dieses „immer kleiner“ impliziert eine Kontinuität in der Abfolge von derartigen Größenbestimmungen. Es gibt also keine Diskontinuitäten in der Darstellung der den Kreis nach unten oder oben begrenzenden Polygone. D. h. also, dass wir eine stetige Veränderung der Größen zu denken haben. Damit ist das Prinzip der Stetigkeit als eine Funktion beschrieben und derart aus der Konstruktion in das mathematische Denken eingeführt. Es wird erfasst, dass diese Stetigkeit notwendige Bedingung für die Funktion des Beweises hat. Das bedeutet, dass es eine lückenlose Folge entsprechender geometrischer Körper gibt und entsprechend dann auch eine lückenlose Folge der diese Körper beschreibenden Maße. Selbst wenn es also nicht möglich ist, diese Maße numerisch auszudrücken, sind so doch Bedingungen formulierbar, die sie als Größe beschreiben lassen.

Dies – das Abrücken von dem abzählbar Berechenbaren, dies – die Darstellung prinzipieller funktionaler Charakteristika mathematischer Operationen, von denen her dann die mathematischen Größen und damit auch die Zahlen verstanden werden, dies ist die enorme Leistung der griechischen Mathematik. Wie war das in diesem Falle umzusetzen? Die Geometrie lässt Näherungskonstruktionen zu, an diesen sind die Konstruktionsprinzipien zu identifizieren. Diese Konstruktionsprinzipien benennen insoweit, welche Konstruktionsverfahren anzuwenden sind und was damit an Schlüssen gewonnen ist. Das heißt dann – und das gilt etwa für Eudoxos – es ist jeweils zu fragen, unter welchen Bedingungen eine entsprechende Konstruktion ansetzbar ist. D.h. nun, dass in diesem konkreten Beispiel zur Darstellung des Exhaustionsverfahrens danach zu fragen ist, unter welchen Bedingungen der Satz, wozu es ein Größeres und ein Kleineres gibt, dazu gibt es auch ein Gleiches, gilt.

Eudoxos beantwortete dies über die Konstruktion derartiger Größen, er zeigte, dass sie ineinander überführbar sind, indem er abzirkelte, Linien und Flächen verschob und in ihren Komponenten verlagerte. Aristoteles nun aber fragt prinzipiell nach den Bedingungen, unter denen und für die eine entsprechende Konstruktion erlaubt ist. Und hier sieht er eben in der Folgerung des Byssos einen Fehler. Schließlich gilt der Satz wozu es ein Größeres und ein Kleineres gibt, dazu gibt es auch ein Gleiches nicht, wenn damit zwei verschiedene mathematische Größen in einen Bezug gebracht werden. Kurven, die über Winkel zu beschreiben sind, und Geraden, die in einer ganz anderen Weise dargestellt werden, sind für ihn derart unterschiedene Größen. Wenn diese Größen prinzipiell unterschiedlich sind, dann können sie aber nicht ineinander überführt werden. Entsprechend sind die Vorschriften für eine Konstruktion zu präzisieren. Es gilt nach den Kriterien zu fragen, in denen Größen als gleichartige, d. h. ineinander überführbare Einheiten zu betrachten sind. Für Eudoxos wäre das klar. Immer dann, wenn ein entsprechendes Verfahren zur Anwendung kommen kann, sind – im Rahmen des Verfahrens – die Größen ineinander überführt. Nun wäre aber nach Aristoteles eine Gerade eben nicht in einen Winkel zu überführen, da sie prinzipiell anders konstruiert ist und mit ihr in einer sie nutzenden Konstruktion dann eben auch anders umzugehen ist, als mit einem Winkel. Können diese Differenzen benannt werden, gibt es Kriterien dafür zu bestimmen, was als eine Größe in eine andere zu überführen ist. Sicher ist dies dann gegeben, wenn ich Maße habe, die ich aufeinander beziehen kann. Wenn nun diese Maße ineinander abbildbar sind, dann heißt dies zumindest, dass es ein kleinstes gemeinsames Vielfaches gibt, in dem die Größe eins mit der Größe zwei in einen direkt zu bemessenden Bezug tritt. Genau dann, wenn dies geht, habe ich zwei ineinander überführbare Größen bestimmt. Das bedeutet zugleich auch, dass ich von den in der Konstruktion einsichtigen Zuordnungen auf die Relationsbeziehungen schließe, in denen ich geometrische Größen bestimme.

Die zu bemessende Zuordnungsbeziehung drücke ich in einer Zahl aus. Sie bemisst die Zuordnung zweier Größen und zeigt sich so als die Formation, in der anschaulich Differentes aufeinander zu beziehen ist. Die Zahl bekommt damit eine neue Bedeutung. Es ist nicht mehr einfach die Skala, das Abzählbare, das in ihr benannt ist. Die Zahl wird vielmehr zur Funktion, über die sich zwei Größen in Bezug zueinander setzen lassen. Das heißt, die Zahl wird selbst zu einer Größe und zwar zu einer solchen, in der sich Größen ineinander abbilden lassen. Das Exhaustionsverfahren war ein Näherungsverfahren; die Idee der Quadratur des Kreises umschreibt die Zielstellung des Näherungsverfahrens und kann ggf. auch Kriterien an die Hand geben, dieses Näherungsverfahren nun selbst zu optimieren. Dabei überführt die Zahl die in ihr bemessenen mathematischen Größen nun nicht einfach ineinander. Bemessungsrelationen beschreiben nicht einfach eine wechselseitige Transformation mathematischer Grundelemente. Soweit der Stand der aristotelischen Überlegungen.

In der Platonischen Geometrie wurde die Existenz von Gerade und Kreis durch Postulate festgelegt, alle übrigen Figuren wurden durch Konstruktion in ihrer Existenz nachgewiesen. Damit sind nun Größenrelationen durch Konstruktion darzustellen, und da diese Konstruktion das Verhältnis geometrischer Konstellationen und nicht nur bestimmte Maßverhältnisse darstellt, sind über die Konstruktion nur grundsätzlichen Maßbeziehungen dargestellt und demnach – in dem Aufweis der Möglichkeit ihres Vollzuges – bewiesen.

So ist die Dreiteilung eines Winkels in einem solch einfachen Konstruktionsverfahren darzustellen. Dazu kann man ein Quadrat konstruieren, in das man einen Kreis einschreibt. Das Quadrat kann ich nun nutzen, den Kreis durch Antragen einer Linie, die die Seiten des

Abb. 4.27 Darstellung einer Quadratrix, vgl. Text für Details

Quadrates halbiert, zu teilen. Entsprechend kann ich nun in dem geteilten Kreis den Halbwinkel dadurch teilen, dass ich auf dem erhaltenen Rechteck nunmehr die lange Strecke in drei Einheiten teile und jeweils nun vom Mittelpunkt des Durchmessers eine Linie auf die Enden der Teilstücke ziehe. Damit ist der Winkel in drei Teile geteilt. Entsprechend kann man den Teilbogen eines Kreises in ein Rechteck einzeichnen und nun die dem Mittelpunkt des Teilkreises gegenüberliegende Seite des Rechteckes in drei Teile einteilen und derart vom Mittelpunkt des Teilkreises die entsprechenden Linien auf die Enden respektive Anfänge der drei Teilstrecken der Seitenlinie des Rechtecks ziehen, und erhalte so einen dreigeteilten Winkel.

Hippias von Elis geht nun noch einen Schritt weiter. Die Umhüllende des Teilkreises ist für ihn eine Kurve, die er dadurch konstruiert, dass er zwei Teilbewegungen überlagert. Ist die Kurve durch ein Quadrat ABCD umgrenzt, bewegt sich zunächst die Gerade DC mit konstanter Geschwindigkeit nach unten. Gleichzeitig dreht sich der Strahl AD mit fester Winkelgeschwindigkeit. In jedem Moment der Bewegung bildet sich ein Schnittpunkt dieser beiden Bewegungen. Aus dieser Reihe von Schnittpunkten ist dann die Kurve zusammengesetzt. Dabei steht dann jede in einem Zeitraum x durchmessene Teilstrecke demnach in dem gleichen Verhältnis wie diejenige, die zu durchmessen ist, um eine Teilstrecke X der Strecke DC zu durchmessen. Da die Bewegung gleichförmig ist, wird so in gleicher Weise durch das Segment x auf DC auch das Segment x des Winkels des zuzuordnenden Teilkreises bestimmt. Die Länge X gibt entsprechend auf DC das relative Maß an, mit dem dann entsprechend auch der Winkel geteilt wird. Insofern ist damit eine Winkelteilmaschine erfunden: Die Quadratrix (Abb. 4.27).

Mit ihrer Hilfe lassen sich nun beliebige Winkelteilungen durchführen. Insofern werden hier durch die Konstruktionsvorschrift Winkelmaß und Längeneinheit einander zugeordnet. Da hier zwei kontinuierliche Bewegungen erfolgen, die in ihrer Abfolge parallel zueinander laufen und im gleichen Punkt starten, wie sie auch im gleichen Punkt enden. So ist die durchmessene Strecke der Bewegung auf der Linie DC dem überstrichenen Winkel durch den Strahl direkt entsprechend und so entsprechen sich die Bewegungen über (die Zeit) t des Strahls und t der Strecke und der Bewegung über der Strecke, entsprechend ist DC dem Bereich der in t durchmessenen Strecke direkt proportional der in t überstrichenen Winkelgeraden. So kann ich dann einen Winkel entsprechend dem Verhältnis der in t über DC durchmessenen Strecke teilen. Deutlich wird, dass hier Größen über ein Konstruktionsverfahren einander zugeordnet werden. Die Annahme einer gleichförmigen Bewegung erlaubt es dabei, für die durchlaufenen Größenbestimmungen der relevanten Bereiche der Konstruktion Stetigkeit anzunehmen, ohne schon den mathematischen Begriff formuliert zu haben. Damit kann in der Demonstration nicht nur für einen bestimmten Fall, sondern für alle in dieser Konstruktion abbildbaren Fälle eine bestimmte Zuordnung bewiesen werden.

Gewonnen ist hier eine Mathematik, die nicht einfach nur in der Anschauung operiert, sondern die sich vielmehr in den Anschauungen ihrer Konstruktionen Regeln bewusst macht. Es ist zunächst das Tun, die Praxis, das Umgehen mit den Berechnungsgrößen, was erfasst und beschrieben wird. Der griechische Mathematiker geht mit etwas um, von dem er noch keinen Begriff hat. Rekonstruiert dann die Konstruktion, indem er sie anschaulich macht und gewinnt so Regeln des Konstruierens. Sein Tun wird ihm in dieser Regularität einsichtig. Das macht er anschaulich und operiert denn auch mit dem Beweis der Anschaulichkeit. Zugleich aber bestimmt er in der Reflexion auf das, was ihm anschaulich wird, das Regelhafte in seinem geregelten Tun. Er abstrahiert damit von der konkreten Veranschaulichung, benennt die Komponenten, in denen seine Veranschaulichung funktioniert und bringt damit das Regelhafte auf den Begriff. So wird seine Mathematik zusehends abstrakt. Sie bestimmt sich in der Regularität ihres Findens. Dabei sichert sie diese Regularität in einer wechselseitigen Abstimmung der Regeln, mit denen sie operiert, bringt diese in einen systematischen Zusammenhang und gewinnt somit ein System ihres Umgehens mit den Dingen, und im Resultat dann ein System desjenigen, mit dem umzugehen möglich ist. Dies ist dann ein System des Wissens von einer ganz neuen, in sich zu bestimmenden Qualität.

So werden Regeln und Texturen der Konstruktion sinnfällig. Damit löst sich die Darstellung von dem konkreten Fall, wird eine Vorschrift, die in sich zu begründen ist. Die Vorschrift wird also bewiesen. Der Beweis ist dabei zunächst, dass anschaulich gemacht wird, was da vorgenommen wurde. Damit ist die Anschauung auf den Begriff gebracht. Die Anschauung wird zu einem Fall des Allgemeinen. So sind dann die Methoden der Quadratrix oder die Exhaustionsmethode des Eudoxos Konstruktionsverfahren, die in ihrer Regelhaftigkeit einsichtig gemacht sind, und mit denen so nach dieser Einsicht auch etwas beschrieben werden kann, was sich einer direkten Einsicht entzieht. Diese Mathematik ist also nicht einfach praktisch, aber sie begründet sich aus einer Bemessungspraxis, die sie über die direkte Anwendung hinaus in ihrer Regularität beschreibt und so als Konstruktion zu verstehen vermag.

 
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