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3.1 Die Anfänge analytischen Denkens

3.1.1 Hochkulturen in Mesopotamien

3.1.1.1 Mesopotamische (Babylonische) Mathematik

3000–2700 Sumerische Stadtstaaten – Entstehung der Keilschrift

2700–2000 Herrschaft der Akkader

2350–2295 Sargon von Akkad

2000–1900 Sumerische „Renaissance“

1900–1600 Altbabylonisches Reich 1782–1686 Hammurapi von Babylon

1600–1250 Einfälle der Hethither und Kassiten in Babylon

Abb. 3.2 Skizze des Zikkurat von Ur

1200 Beginn des Aufstiegs von Assyrien

883–612 Neuassyrisches Reich mit Residenzen in Nimrud und Ninive 625–539 Neubabylonisches Reich

597 Eroberung von Judäa – Beginn der babylonischen Gefangenschaft der Juden

550 Erhebung der Perser

539 Nach Eroberung von Babylon durch Kyros den Großen, Beginn der persischen Herrschaft

500 Aufstand der ionischen Städte

330 Alexander der Große erobert Babylon

Die Geschichte Mesopotamiens ist kompliziert. Der fruchtbare Bereich zwischen Euphrat und Tigris, das Zweistromland, in dem nicht wenige Forscher meinten den Hintergrund der biblischen Geschichte vom Paradies ansetzen zu müssen, lag über Jahrtausende im Interessenfokus einer ganzen Reihe von Völkern, nicht zuletzt auch, da die zunächst nicht zu großen Stadtstaaten der Sumerer auch auf Grund ihres Reichtums und ihrer Kultur für andere weiniger prosperierende Völker besonders verlockend erschienen.

Nicht zuletzt auch über die Bibel verweben zudem sich eine ganze Reihe von Geschichten dieses Raumes hinein in die Anschauungs- und Vorstellungsmuster unserer heutigen Kultur, zeigt sich doch sogar die Geschichte der Sintflut als ein Reflex einer Erinnerung, die schon die 11. Tafel des Gilgamesch-Epos beschreibt. Und so ist dann auch unser Teufel mit Bockshorn und Huf nichts anderes als der Fruchtbarkeitsgott des alten Mesopotamiens.

Abb. 3.3 Darstellung der Zahl 13: 1 × 12 plus 1

In den entstehenden komplexen politischen und sozialen Strukturen werden die rituellreligiösen Deutungsgefüge dort selbst zusehends durch pragmatische Bestimmungen des menschlichen Zusammenlebens aufgelöst. Die Gesetzestafeln des Hammurapi zeigen, wie sich hier ein neues, kodifiziertes Regelwerk entwickelt, das am Ende bis ins Detail qua Gesetz, das heißt nach einer durch Autorität verordneten Verhaltensbestimmung, ein sozialökonomisches Zusammenleben regelt.[1] Hier interessieren uns im Weiteren aber allein die Entwicklung der Mathematik und die – vergleichsweise – spärlichen Überlieferungen zu den kosmologischen und medizinischen Vorstellungen, die sich in diesem Kulturkreis entwickelten.

Schon aus Uruk – um 2900 – sind uns Tafeln mit sumerischen Zahlzeichen überliefert. Diese finden sich auf Listen, in denen die Anzahl bestimmter Nutztiere vermerkt ist. Wahrscheinlich handelt es sich um Dokumente, die einen Warenaustausch dokumentieren sollten. Als Zahlzeichen finden sich Symbole für 1, 10, 60 (601) und 3600 (60). Notiert wurde also nicht in unserem Dezimalsystem, sondern in einem Sexagesimalsystem. Dieses System ist ein gemischtes Zehner- und Sechsersystem, wobei es Anzeichen gibt, dass das Zehnersystem das ursprünglichere System darstellte. Was auch nicht weiter verwundert, da als Basis der einfachen Rechnungen schlicht die zehn Finger zur Rechnung benutzt werden können. Das Abzählen an den zehn Fingern wird aber problematisch, wenn es sich um höhere Zahlen handelt. Belegen wir nun aber die Glieder der Finger der rechten Hand jeweils als einen eigenen Wert, so haben wir 4 × 3 = 12 Glieder. Belegen wir nun die vier Finger der linken Hand jeweils mit dem Wert 12, so können wir mit dem Daumen als Zeiger jeweils 1 × 12, 2 × 12, 3 × 12 oder 4 × 12 anzeigen. Dazu addieren wir den der Fingerglieder der rechten Hand und können so bis zum Wert 60 alle Zahlen abbilden (Abb. 3.3 und 3.4).

Abb. 3.4 Darstellung der Zahl 40: 3 × 12 plus 4

Diese Kombination von Zahlenwerten, die sich dann noch einmal in den Zahlzeichen über 600, geschrieben als 10 × 60, und 36.000 geschrieben als 10 × 60 darstellen lassen, wurden nun noch nicht im Sinne unseres Stellenwertsystems verwandt, in dem die Position einer Ziffer das Ein-, Zehn-, Hundertfache usw. des Zahlenwertes zu 1 angibt (also ist 212 gleich 2 × 100 × 1 plus 1 × 10 × 1 plus 2 × 1). Vielmehr wurden die verschiedenen Zahlzeichen nebeneinander gestellt und – wie bei den späteren römischen Zahlen (I, II, III, IV, V ..., X ..., L ..., C ..., M ...) – dann in ihrem Wert addiert.

Bis zur Sechzig (sumerisch: gesch) waren die entsprechenden Zahlenwerte entsprechend dem Verfahren, das wir uns an dem skizzierten Handrechner verdeutlicht hatten, notiert. Im Sinne eines Dezimalsystems zählten die Sumerer dann auf Basis der 60, 2 × 60, 3 × 60 bis 10 × 60 weiter × 2. Die dazwischen liegenden Zahlen waren dann durch Addition der entsprechenden Wertzeichen darzustellen. Über 600 notierten die Sumerer nunmehr in 600er Schritten bis zu 6 × 600, also 3600 (schàr). Die 3600, für die es ein eigenes Zeichen gab, wurde dann 10 × bis auf 36.000 (schàr-u, das heißt 10 × schàr) gesteigert, die 36.000 wurden dann 6 mal gezählt – bis zu 216.000, das als das große 36.000 ( schàr-gal), mit dem Wert 60, bezeichnet wurde. Dies wurde dann wieder 10mal gesteigert bis 2.160.000 (schàrgal-u). Dies wurde dann wieder in 6er-Schritten bis zu 12.960.000 gesteigert, wobei dieser Wert wieder einen eigenen Namen besaß. Sehr deutlich wird hier die Mischform eines Zehner und Sechser Systems, das schlicht die eingangs skizzierte Rechenpraxis abbildet. Diese kann dann, auf der Basis der einmal gefundenen Kalkulationsform des Handrechners, nun um neue Einheiten erweitert werden, so dass die eingeübte Rechenpraxis nun mit höheren Werten fortgeschrieben werden kann. Insgesamt wird damit deutlich, dass dieses Zahlensystem eine Berechnungspraxis abbildet. Zugleich zeigt sich aber auch, dass dieses Verfahren größenordnungsunabhängig verwandt werden kann. Es zeigt, wie sich in einer Fortschreibung einer entsprechenden Berechnungspraxis ein bis ins Unermessliche führender Zahlenraum abbilden lässt. Die Tatsache, dass diese großen Zahlenwerte benannt werden, zeigt zudem, dass man mit ihnen umgehen konnte. Die Art der Benennung der entsprechend erhaltenen Zahlen macht dabei deutlich, dass diese auch als Funktionen eines Berechnungsvorganges verstanden wurden. Von daher ist – das zeigt allein schon die Benennung – schon den Sumerern einsichtig, dass Zahlen als operative Größen bestimmt sind, die insoweit einfach nur vollzogene Operationen des Berechnungsverfahrens darstellen. Damit gewinnt schon die sumerische Zahlterminologie einen sehr hohen Abstraktionsgrad, der bei einer konsequenten Vereinheitlichung des Berechnungssystem von den Babyloniern dann noch einmal vereinfacht werden konnte. die Babylonier bildeten das Zahlennotationssystem zu einem Stellenwertsystem um, wie wir es kennen, wenn auch auf Grundlage der 6.

Babylonische Zahlen von 1–59 [2] Die Null war in diesem System keine Zahl. Null bedeutete das nichtvorhanden sein einer Zahl und wurde mit einem Leerzeichen dargestellt.

Dabei kennen die Babylonier in ihrem nunmehrigen Stellenwertsystem zwei Individualzeichen, ein senkrecht stehender Keil für 1 ( ) und eine quer stehende Kerbe für 10. diese Zeichen konnten für 1–59 additiv den entsprechenden Zahlenwert bestimmen. So finden sich etwa die Werte 3 , 4 , 5 , 15 , 16 und 20 , wobei es wichtig ist, die entsprechenden Zeichenkombinationen jeweils als eine Ziffer zu behandeln.

Höhere Werte ordnen sich dann entsprechend unserem Stellenwertsystem: So ist 61 als zu schreiben, was 1 × 60 + 1 bedeutet; 195 wäre demnach als zu notieren, also als 3 × 60 + 15.

Additionen und Subtraktionen funktionieren dann analog den Operationen in unserem Dezimalsystem. So ist plus dann, also 1 × 60 plus 1 summiert mit 3 × 60 plus 15 ist gleich 4 × 60 plus 16. Analog kann man in diesem System subtrahieren: Minus ist gleich , also 5 × 60 plus 20 minus 4 × 60 plus 15 ist gleich 1 × 60 plus 5.

Dabei ist die Notation in einem entsprechenden System nicht unproblematisch, war doch aus einem Zeichen wie nicht immer sicher abzulesen, ob hiermit 20 × 3600 (entsprechend den Stellung in der Notation für 60 × 60) plus 20 oder 20 × 60 plus 20 gemeint war. So wurde später bei einer fehlenden Stelle eine Lücke gelassen. Ab dem 6. Jahrhundert kam dann ein eigenes Leerzeichen mit dem Wert Null auf. Erst die Inder ordneten diesem Leerzeichen dann aber auch einen mathematischen Wert Null zu.

Auch bei der Multiplikation wurde analog unserem aus dem Dezimalsystem bekannten Verfahren vorgegangen. Zur Erleichterung der Berechnung wurden dabei Multiplikationstabellen verwendet, von denen man die zu berechnenden Werte ablesen konnte: Jede Zeile einer Multiplikationstabelle begann mit der gleichen Kopfzahl, so z. B. 1, es folgte der Ausdruck für „nehme mal“ und darauf der Multiplikator, z. B. 21, und schließlich das Ergebnis, hier z. B. 21. Da im Sexagesimalsystem 60, wie bei den Sumerern aufgeführt, in 10er Schritten gestuft wurde und auch im Alltag Dezimalzahlen viel in Gebrauch waren, wurden auch zu Kopfzahlen wie 100 (im Sexagesimalsystem geschrieben als 1,40) und 1000 (geschrieben als 16,40) Multiplikationstabellen angelegt. Deutlich wird hier schon, dass das Rechnen mit großen Zahlenwerten mit den entsprechenden Kalkulationsverfahren zwar vereinfacht ist, aber erst durch die Nutzung von Tabellen als schnelles und praktikables schriftliches Berechnungsverfahren zu etablieren war.

Deutlicher wird dies noch bei der Division. Die Babylonier dividierten eine Zahl x durch eine Zahl y, indem sie x mit dem Kehrwert von y multiplizierten: d. h.: x : y ist gleich x mal 1/y.

Den Kehrwert einer Zahl y konnte man in einer Multiplikationstabelle mit der Kopfzahl y finden, sofern es einen Wert n gab, der mit y multipliziert eine Potenz von 60 darstellte. Dann war einfach das Ergebnis y mal n gleich 60x , also war dann n/60x gleich 1/y. Insofern war dann der Multiplikator n der gesuchte Kehrwert. Diese Kehrwerte natürlicher Zahlen stellte man wieder in eigenen Tabellen, die diese Reziproken darstellten, zusammen. Die Werte, die nun aber nach den bearbeiteten Multiplikationstabellen keinen Kehrwert besaßen, wurden in diesen Tabellen mit einem „ist nicht“ markiert. Für diese Zahlen wurden, wie auch für andere Zahlen, etwa die Maßzahl zur Berechnung des Kreisumfangs, Näherungswerte verwandt, die sich ggf. auch in Tabellen aufgewiesen fanden.

Mit einer entsprechenden Abwandlung dieser Methode ließ sich dann auch eine Quadratwurzel ziehen. Das Verfahren für eine Potenz von 60 ist einfach, wird doch einfach die Potenz um 1 reduziert. Ist der Wert aber ein zusammengesetzter mit 60x plus y, so setzten die Babylonier ein Näherungsverfahren ein. Die Wurzel aus 60x plus y ist dann 60x−1 plus y / 60x . Auch diese entsprechenden Werte finden sich dann in Tabellen eingetragen.

Diese Verfahren, die hier in vereinfachter Form vorgestellt werden, sind das Resultat einer Entwicklung, das uns nur punktuell, durch die zufälligen für uns verfügbaren archäologischen Funde deutlich gemacht ist. Wir müssen aus diesen sehr sparsamen Funden eine Entwicklung rekonstruieren. Dabei ist die schriftliche Fixierung etwaiger Berechnungsverfahren selbst schon ein wesentlicher Schritt der Entwicklung, den wir etwa um 3000 v. Chr. datieren können. Die Notationsverfahren werden dann kontinuierlich weiterentwickelt. Doch schon dieser erste Schritt hat entscheidende Konsequenzen. Zum einen bedeutet er eine Vereinfachung des ursprünglichen Verfahrens, da nunmehr nach der Notation Normierungen einwandfrei fixiert werden können. Zudem sind mit dem schriftlichen Verfahren auch nicht direkt überschaubare Summen darstellbar. Dadurch, dass verbunden mit der Darstellung der Zahlen auch Verfahren fixiert sind, nach denen ihr Wert zu berechnen ist, wird der Zahlenraum merklich erweitert. All das, was in dem Notationsverfahren darstellbar ist, wird berechenbar. Das ist ein sehr wesentlicher Schritt, wird damit doch die Anwendung des Zählens deutlich erweitert und sind so dann auch etwaige langfristige Entwicklungen beschreibbar. Wenn in Stonehenge Steine aufgerichtet wurden, um Regelmäßigkeiten in der Bahn der Himmelskörper erfahrbar zu machen, so reicht es nunmehr zu, Positionsdaten zu notieren. Damit wird viel mehr an Regularitäten darstellbar. Und vor allem sind über die Schrift festgehaltene Notationen auch an andere Orte zu vermitteln.

Ferner wird in der Schrift auch das Umgehen mit nicht unmittelbar einsichtigen Größen in neuer Weise handhabbar. Die Schrift erlaubt es zudem, Lösungen für etwaige Probleme zu notieren und an andere zu vermitteln sowie detaillierte Anweisungen auszuarbeiten und als Standard für die weitere Unterrichtung an verschiedenen Orten und über längere Zeiträume explizit festzuschreiben. Dabei aber – und deswegen sind diese Notation und die mit ihr verbundenen schriftlichen Berechnungsverfahren hier breiter dargestellt – bildet sich in dieser Notation zunächst eine Praxis ab, die nun, schriftlich fixiert, in einer neuen Form weiterentwickelt werden kann.

In der Fixierung im Medium Schrift löst sich das Berechnen zusehends von den Beschränkungen einer nur abzählenden Mathematik. Deutlich wurde das schon am Zahlsystem der Sumerer, die gleichsam in einer skaleninvarianten Darstellung der ursprünglichen Notationen von 1–10 und 1–60, die, wie oben demonstriert, schon an unseren Händen ablesbar waren, das Abzählbare in einem eigenen Zahlenraum fasst. Das was zunächst nur als Mehr oder Weniger zu bezeichnen war, wird zu einer Größe, von deren konkreten Bestimmung abzusehen ist. So werden Werte, die Objekten zugeordnet sind, zu Zahlen. Und der Raum, in dem diese Zahlen geordnet sind, verlangt nun nach eigenen Regeln, wie mit diesen Zahlen umzugehen ist. Dabei wird in der Fortschreibung der Darstellungstechnik, in der nun die 60er Reihe wie die vormaligen ersten zehn Zahlen behandelt wird, ein ganzer Bereich von Größen verfügbar, die nach diesem Verfahren aufeinander zu beziehen sind. Es sind dies die Potenzen von 60, die derart zu beschreiben sind und in denen damit auch unvorstellbar große Werte, benannt sind. Auch diese unvorstellbar großen Werte, sind nun aber mit den Regeln zu beschreiben, die auch für die Zahlen im Anschauungsraum verfügbar sind. Das Abzählen von Größen an der Hand wird so zu einem Exempel, nach dem überhaupt Zahlen zu behandeln sind.

Die hier erarbeiteten Verfahrensregeln werden so zu Vorschriften, nach denen auch außerhalb des Anschauungsraumes mit Zahlen umzugehen ist. Die Praktiken, derart als Regeln formuliert, erlauben es so, unsere Vorstellung aus dem Raum der direkt verfügbaren Anschauungen hinaus auf die Ebene rational zu rekonstruierender Regularitäten zu transformieren. Es sind dies noch keine Formeln, in denen diese Regularien zu fassen sind, es sind aber schon erste Funktionen, die sich hier abbilden, und mit denen zumindest implizit operiert wird.

So werden die nach diesen Regeln gewonnenen Größen der zweiten 60er-Potenz wieder in Sechserreihen dargestellt, die sich wiederum in einer Zehnerserie fortschreiben. Worauf dann in einer erneuten Sechserstufung eine fast schon unvorstellbar große Zahl erreicht ist, die sich aber – nach dem gewonnenen Verfahren – berechnen lässt, und für die so alle an den einfachen berechenbaren Größen probierten Verfahren ebenfalls Gültigkeit haben. Die derart etablierten Verfahren werden tradiert. Sie erweitern sich und werden nun über die etablierten Verfahren von Subtraktion und Addition hinaus fortgeschrieben. Dabei ist es erlaubt, auch Zahlenwerte zu benennen, die im Raum real abzählbarer Zahlen nur bedingt eine Entsprechung haben, wie etwa die negativen Zahlen, oder auch Berechnungen von Zahlenwerten, für die in den vorhandenen Darstellungspraktiken keine Lösungen formulierbar sind. Es gibt demnach also schon für die Sumerer unterschiedliche Gruppen von Zahlen, und doch zeigt sich in einer geometrischen Darstellung, in der qua Konstruktion etwa Diagonalen durch Quadrate zu ziehen sind, deren Länge nicht mehr als abzählbare Vielfache der Seitenlinien solch eines Quadrates darstellbar sind, dass auch dies Größen sind, die eine bestimmte Ausdehnung haben.

Zahlen sind also schon im Zweistromland der Antike nicht gleich Zahlen, sie haben unterschiedliche Eigenschaften, sind demnach in jeweils unterschiedlichen Verfahren zu berechnen. Dabei erlaubt es dann die Tradition und deren schriftliche Fixierung, diese Verfahren festzuhalten und fortzuschreiben. Die Mathematik, die derart praktiziert wird, folgt Regeln und arbeitet mit Regelbüchern. Die wichtigsten dieser Regeln sind Verfahrensregeln, die zeigen, wie dann in einer Berechnung die vorhandenen Hilfsmittel in der rechten Weise einzusetzen sind. Sie schreiben demnach die Nutzung von Tabellen vor, was an diesen und wofür diese zu nutzen sind. Dabei geben sie dann auch Alternativwege für die Fälle an, in denen die Nutzung der Tabellen nicht weiterführt. Die entstehende Mathematik ist demnach ein kompliziertes Gefüge von Anweisungen und Anwendungen, die im Weiteren ggf. dann auch kombiniert werden und es derart mehr und mehr erlauben, das, was zu bemessen ist, denn auch in Form der verfügbaren mathematischen Regeln berechnen zu lassen.

Was sich damit zeigt, ist, dass die entstehende Mathematik an bestimmte vorgegebene Standards gebunden ist. Dies sind zunächst die Zeichen und die damit beschriebene Zahlenreihe. Es sind dies ferner die Verfahrensregeln vom Umgang mit diesen Zahlen. Wie dies etwa in den Regeln formuliert ist, die beschreiben, wie zu entsprechenden Brüchen zu gelangen ist, wie damit umzugehen ist, und die angeben, welchen Wert diese Brüche im Zahlensystem haben. Schließlich muss der Schreiber, der mit entsprechenden Brüchen arbeitet, wissen, wie er seine Berechnung mit solchen etwaigen gebrochenen Zahlen weiter-führen kann. Sind die Bestimmungen hier eindeutig, wird er – auch bei Nutzung von Näherungswerten – immer reproduzierbare Ergebnisse und damit Verbindlichkeit erreichen. Dabei leitet ihn die Tabelle, die diese Art der Operation weiter vereinfacht, Zahlenwerte bestimmt, Funktionen in Operationsfolgen handhabbar macht und die Resultate, die auch nach dem Einsatz komplexerer Funktionen zu erwarten sind, vorgibt. Dort, wo diese Tabellen vorliegen, kann mit ihnen gerechnet werden; und so verbreitet sich mit diesen Tabellen eine bestimmte Form der Berechnung. Für den Bereich, in dem diese Tabellen verbindlich sind, sind demnach Berechnungsverfahren etabliert und Umrechnungen, Extrapolationen und Wertzuordnungen standardisiert. Damit wird auch ein großräumiger Handel ohne direkten Warenaustausch, das Handeln auf das Basis von Vermögenswerten, die bestimmten Warenwerten zugeordnet werden, das Verleihen und der Transfer von Kapital möglich. Damit sind denn auch überhaupt erst die komplexen, räumlich ausgedehnten Staatengebilde der späteren Entwicklungsphasen Mesopotamiens realisierbar, in denen nicht nur der Warentransfer, sondern auch die Sicherung von Finanzierungen, ebenso wie die Regulierung des öffentlichen Umgehens der Mitglieder solch einer Gemeinschaft nicht mehr nur persönlich verhandelt werden musste, sondern in denen über große Distanzen, ggf. sogar über längere Zeiträume bewert- und kontrollierbar blieb.

Vorgegeben sind hier verbindliche Regeln, nach denen Handlungen beschrieben und deren Effekte und Regulierung jeweils im Einzelnen ausgewiesen wurden. Diese Art einer Regulierung von Einzelhandlungen finden wir auch in dem Gesetzeswerk von Hammurapi. Hier scheinen sich die Denkformen im Bereich des Mathematischen und in der Rechtsschrift zu entsprechen. Dargestellt ist in diesen Tafeln eine Kasuistik rechtlicher Regelungen, in der ein einzelner Fall beschrieben und für den einzelnen Fall eine Bewertung angegeben ist. Formuliert sind Tabellen, über die Hammurapi die Rechtsprechung in seinem Herrschaftsbereich standardisiert. Berechnung und Rechtsprechung nutzen hier analoge Verfahren.

Das zeigt, dass es sich im Bereich der Mathematik in der Tat nicht einfach nur um die isolierte Entwicklung eines Formalismus, sondern um einen Schritt in der Entwicklung von Denkformen insgesamt handelt. Die Berechnungstabelle ist demnach nicht einfach nur Hilfsmittel einer ansonsten schon analytisch durchdrungenen Mathematik; sie ist vielmehr der formale Apparat, in dem und mit dem sich das Denken vollzieht. Nun wissen wir nicht, wie diese Tabellen entstanden sind und wie sich Näherungswerte etablierten. Schlüssig ist aber, zum einen die einfache Umsetzung eines bestimmten Zählmechanismus zu vermuten. Damit wäre dann auch der spätere Zahlenraum der Babylonier analog den Zahlzeichen der Sumerer verstanden, die sich ja, wie demonstriert, ebenfalls als Fortschreibung einer einfachen Kombinationsregel beschreiben lassen. Derart sind dann für Babylon Multiplikationen nicht einfach nur das Resultat einer bestimmten Kombination von Variablen. Vielmehr sind es Reihungen von Verfahrensschritten, die sich in ihrer jeweilig analogen Gestaltung auseinander entwickeln lassen und sich so dann in eine Reihe einbinden lassen, die wir heute als bloße Tabelle verstehen. Zum anderen, und das mag für Maßzahlen, ggf. auch für den Umgang mit gebrochenen Zahlen gelten, sind nach diesem Verfahren dann Werte wohl schlicht abgemessen worden. So ließ sich, für etwaige Näherungswerte, ein Hohlmaß mit bekannten Seitenlängen und bekannter Grundfläche ausmessen. Der erhaltene Wert lässt sich in die Tabelle möglicher mathematischer Einzelaussagen einschreiben. Einmal gefunden, konnte mit diesen Maßverhältnissen in der gleichen Art umgegangen werden, wie mit jedem anderen Wert, für den zuzuordnende Zahlwerte registriert waren. Entsprechend waren die jeweiligen Maßzahlen als Elemente eines Korpus möglicher Berechnungsteilfunktionen erfasst. Insoweit benötigt diese Art des Berechnens keine Axiome und auch keine Beweisverfahren. Es ist schlicht ein Korpus von Regeln aufgestellt, nach denen sich die Zahlenwerte entwickeln und nach denen diese sich kombinieren lassen. Die entsprechende daraus zu folgernde Bemaßung ist durch die Notation etabliert und wird in verschiedenen Kulturbereichen angewandt, so dass sich alle entsprechenden Operationen im kultischen, ökonomischen und sozialen Bereich zusehends auf diese Standards hin ausrichten. Demnach ist diese Art des Berechnens dann auch sehr bald über die Tradition begründet. Diese Form des Mathematischen ist demnach Teil einer Kultur, und sie wird als solche Kulturtechnik dann auch nur bedingt in einen anderen, ggf. an andere Traditionen gebundenen Kulturraum, zu vermitteln sein.

Und in der Tat ergaben sich hier in der Konfrontation der mesopotamischen und der ägyptischen Mathematik Schwierigkeiten, mit denen dann allerdings – wie wir sehen werden – innerhalb der jeweiligen Kulturen schlicht pragmatisch umgegangen wurde.

Codex des Hammurapi

Hammurapi wurde 1792 der sechste Herrscher von Babylon, das zu Beginn seiner Herrschaft ein Staat neben einer Reihe anderer mesopotamischer Stadtstaaten wie Larsa, Mari und Assyrien war. Unter seiner Herrschaft dehnte sich der Herrschaftsbereich Babylons nach Norden aus, wobei er Larsa in seinen Herrschaftsbereich integrierte und auch gegen Assur siegreich blieb. Im Prolog des Codex Hammurapi werden denn auch Assur und Ninive als dem Herrschaftsbereich Hammurapis eingegliederte Städte genannt. Das Gebiet Babylons erstreckte sich demnach gegen Ende seiner Regierung vom Persischen Golf und dem Zagros-Gebirge bis zum Euphratbogen. Schon während der Regierungszeit seines Sohnes kam es allerdings zu Unruhen in Südmesopotamien; die neu erscheinenden Kassiten drangen zeitgleich mit den Hethitern gegen Babylon vor und konnten schließlich die Hammurapi-Dynastie ablösen. Damit war die altbabylonische Epoche Mesopotamiens beendet. Erhalten blieb mit dem Codex Hammurapi die älteste vollständig erhaltene Rechtssammlung, die neben einem Prolog 282 Gesetzesparagraphen und einen Epilog umfasst. 1902 wurde eine Dioritstele mit diesem Gesetzestext in Susa gefunden, die von dort wahrscheinlich von einem Eroberer aus einer babylonischen Stadt verschleppt worden war. Bekannt sind zwei ältere ähnlich lautende Gesetzestafeln, die 300 bzw. 150 Jahre vor Hammurapis Zusammenstellung verfasst wurden. Diese beiden Werke sind aber nur in Fragmenten erhalten. Es ist allerdings auch nicht geklärt, welchen Verbindlichkeitsgrad der Codex Hammurapi zu seiner Zeit besaß. Deutlich ist aber, dass die hier formulierten Strafen gegenьber den bekannten frьheren Fragmenten deutlich moderater sind. Interessant in unserem Kontext ist vor allem aber die kasuistische Darstellung einzelner Rechtssituationen, die in einer Liste aufgereiht jeweils konkrete Urteilsorientierungen an die Hand geben.

Ausschnitte des Codex Hammurapi[3]

. . . Als Marduk zu regieren die Menschen, dem Lande Recht zu verkünden, mich entsandte, habe ich Recht und Gerechtigkeit in den Mund des Landes gelegt, das Wohlbefinden der Einwohner geschaffen. Nunmehr:

1. Wenn jemand einen anderen bezichtigt und die Bezichtigung gegen ihn (vor Gericht) aussagt, aber ihn nicht überführt, so soll sein Bezichtiger getötet werden.

2. Wenn jemand gegen einen andern Zauberei (vor Gericht) aussagt, ihn aber nicht überführt, so soll derjenige, dem Zauberei vorgeworfen wird, zum Flusse gehen und in den Fluß springen – wenn der Fluß ihn ergreift, so soll sein Bezichtiger sein Haus in Besitz nehmen, wenn der Fluß jenen für unschuldig erweist, er oben schwimmt, so soll der der ihm Zauberei vorgeworfen hat, getötet werden, derjenige, der in den Fluß gesprungen ist, das Haus seines Bezichtigers in Besitz nehmen.

3. Wenn jemand in einem Prozesse zu belastendem Zeugnis auftritt, die Aussage die er gemacht hat, nicht beweist: wenn jener Prozeß ein „Prozeß ums Leben“ Ist, so soll dieser Mensch getötet werden.

...

245. Wenn jemand einen Ochsen mietet und ihn durch Vernachlässigung oder Schläge tötet, so soll er Ochsen für Ochsen dem Eigentümer ersetzen.

246. Wenn jemand einen Ochsen mietet und bricht ihm ein Bein oder zerschmettert ihm das Nackenband, so soll er Ochsen für Ochsen dem Eigentümer ersetzen

247. Wenn jemand einen Ochsen mietet und ihm ein Auge ausschlägt, so soll er die Hälfte seines Preises dem Eigentümer geben.

248. Wenn jemand einen Ochsen mietet und ihm ein Horn abbricht, den Schwanz abschneidet oder die Maulteile (Nüstern) beschädigt, so soll er Silber 1/4 seines Preises zahlen.

249. Wenn jemand einen Ochsen mietet und Gott (ein Zufall) ihn schlägt, er stirbt, so soll der Mieter bei Gott schwören und schuldlos sein.

250. wenn ein Ochse beim Gehen auf der Straße (Markt) jemand stößt und tötet, so soll diese Rechtsfrage keinen Anspruch bieten.

...

263. Wenn er das Rind oder ein Schaf, die ihm gegeben worden sind, zugrunde richtet, soll er Rind für Rind, Schaf für Schaf ihrem Eigentümer ersetzen.

264. Wenn ein Hirt, dem Rindvieh oder Kleinvieh zum weiden übergeben worden ist, der seinen Lohn wie festgesetzt erhalten hat und befriedigt worden ist, das Rindvieh oder das Kleinvieh vermindert, den Zuwachs (durch Geburten) kleiner macht, soll er nach dem Wortlaute seiner Abmachung Zuwachs und Ertrag liefern.

265. Wenn ein Hirt, dem Rinder und Kleinvieh zum Weiden übergeben worden sind, Betrügereien macht, den natürlichen Zuwachs fälscht oder für Geld verkauft, so soll man ihn überführen und 10-fach soll er, was er gestohlen hat an Rindern und Kleinvieh, ihrem Eigentümer ersetzen.

266. Wenn im Stalle ein Schlag von Gott sich ereignet, oder ein Löwe würgt, so soll der Hirte vor Gott sich reinigen und das im Stalle Umgekommene dessen Eigentümer ihm (wieder) stellen.

267. Wenn der Hirte nachlässig ist, im Stalle einen Schaden macht, so soll der Hirt den Fehler des Schadens, den er im Stalle verursacht hat, an Rindern oder Kleinvieh herstellen (ersetzen), und ihrem Eigentümer geben.

Deutlich wird damit zugleich, dass diese nach Regeln funktionierende Mathematik nicht einfach nur abzählt. Sie kennt Maße, die sich in einer bestimmten Hinsicht zueinander verhalten und die dann auch über die Operationen, die mit ihnen vollzogen werden, zu beschreiben sind. Das gilt auch dann, wenn ihre Größe den Vorstellungsraum überoder auch unterschreitet. Die Tatsache, dass es gesicherte Regelwerke sind, in denen nachzuschauen wäre, wie mit solchen Größen umzugehen, und wie sie zu kombinieren sind, erlaubt es nun, mit den so erhaltenen Standards in den verschiedenen Bereichen dieser Kultur zu rechnen. Entsprechend sind nun auch in der Astronomie Größenordnungen behandelbar, die in der Tat auch numerisch in kosmische Dimensionen hinein- und demnach aus der einsichtigen Welt hinausführen.

Damit gewinnt diese Mathematik, insbesondere in der Darstellung von Zeitperioden, nicht nur einfach kulturelle Bedeutung. Sie zeigt, dass mit diesen Regeln auch im Nichtvorstellbaren Strukturen zu finden sind. Das erklärt die Bedeutung einer Suche nach Konstellationen, die schon in ihrer schieren Größe in eine neue Dimension führen. Dies vermittelt auch die Hintergründe einer Praxis, die schon in der bloßen Zusammenführung von Reihen etwas Eigenes sieht, und hier Bedeutungen aufzufinden sucht. Wir nennen diesen Bereich später Astrologie. Dabei haben wir diese erste Astrologie nun nicht einfach nur als die Fortführung magischer Traditionen zu beschreiben. Hier konturiert sich vielmehr in der neuen Art der auf Permutationen und Reihungen bauenden Berechnung von Perioden in den Abläufen des Kosmischen eine sich, wie wir noch sehen werden, zusehends stärker reflektierende Weltsicht. In den Zahlenreihen, den Bemessungen und Periodisierungen wird der derart neu begriffene Kosmos auch über den Jahresrhythmus hinaus beschreibbar. Die einzelnen Beobachtungen, die in den hier möglichen Fortschreibungen beobachte ter Zusammenhänge, in einer nahezu ins Unendliche, aber zumindest weit über die Lebensspanne des Einzelnen hinausführenden Reihe mögliche Konstellationen binden, gewinnen eine eigene Bedeutung. Es ist noch keine rational strukturierte Welt, die hier aufscheint, aber es ist ein in neuer Form strukturierter Kosmos, der hier beschworen wird. Dieser wird dann auch nicht einfach als Ganzes erfahren, sondern in einer Folge von Konstellationen beschrieben. Er löst sich in die in diesen darzustellenden Funktionen auf. Derart gewinnt sich denn auch ein Weltbild, in dem einzelne Veränderungen der Welt als Resultat von einsehbaren Wirkzusammenhängen beschrieben werden können. Darauf kommen wir noch zurück. Dieser Schritt, der es erlaubt, Texturen wahrzunehmen, in denen sich Einzelheiten als Besonderungen von Wirkzusammenhängen verstehen lassen, wird durch das mathematische Denken befördert. Diese Art der Darstellung von Zuordnungsfolgen folgt nicht einfach nur vorgegebenen Regeln, über die dann die entsprechenden Beziehungen dann in Zahlenwerte umgesetzt werden. Vielmehr macht diese Art der beschreibung, in der eine Vielfalt von Zuordnungen in einfachen Funktionen darzustellen ist, möglich, das Viele auf die Zahl und mit der Zahl in Regeln zu bringen. Damit ist die Vielfalt als Variation einer Grundregel zu fassen, die sich in Zahlen auszudrücken vermag. Womit sich dann auch das, was derart zu bemessen ist, in neuer Weise darstellt.

Dasmesopotamische Sexagesimalsystem

Im Zehnersystem schreiben wir 845 = 8 Ч 100, 4 Ч 10, 5 Ч 1, in Babylon ist nun nicht die 10, sondern die 60 die Grundzahl, das Zeichen , wird demnach also, je nach Position, 1, 60, 602, 603, bedeuten dazu gibt es dann noch ein „<“ als Zeichen fьr10, sowie ein Zeichen „>>“ fьr denWert Null in einer bestimmten Potenz, entsprechend ist dann Y YY >> << YY also (3 Ч 602 = 10.800) plus (0 Ч 60 = 0) plus (2 Ч 10 = 20) plus (2 Ч 1 = 2), das macht insgesamt – in unserer Notation: 10.822.

Dabei ist dann auch die Zahl nicht etwas, das analytisch begriffen ist. Es ist eine tradierte Praxis, ein eingeübtes Umgehen mit den Verfahren, in dem sich nunmehr in neuer Form messen lässt. Schließlich ist auch schon das Anschauliche, die in der Geometrie demonstrierbare Teilung eines Quadrates in zwei Dreiecke mit Strecken verbunden, die nicht mehr einfach auszumessen sind. Die Diagonale durch ein Quadrat mit der Seitenlänge „eins“ lässt sich nicht mehr in einfachen, abzählbaren Größen darstellen. Es ist damit aber etwas konstruiert, das es nun aber dennoch zu bemessen gilt. Sind doch in den so gewonnen Maßzahlen, die nur mehr als Funktionen auszudrücken sind, die Volumina einer Pyramide ebenso darzustellen wie die Dimensionen eines Bewässerungsgrabens. Mit diesen Verfahren sind Flächen auszuweisen, die in einer nicht abzählbaren Bestimmung zueinander im Verhältnis stehen. Der auch analytische Umgang mit dem derart Unbestimmten wird nun für diese Kultur dann unproblematisch, wenn für eine etwaige hier anzusetzende Rechnung Tabellen vorzuweisen sind, in denen die Werte eingetragen wurden, mit denen in solch einem Falle zu rechnen wäre.

Nun lässt sich all dies hier leicht formulieren, da wir kaum Quellen haben, die uns an diese Zeit wirklich heranführen. Allerdings wissen wir um die Verfahren der heutigen Schamanen und wir kennen Lehrtexte aus dem alten Babylon, die zeigen, wie die Schreiber in ihrer Ausbildung an die Mathematik herangeführt wurden. Dies geschah in eben der hier skizzierten Weise. Dabei fehlen uns in den Darstellungen der Verfahrensregeln des alten Babylon Beweise. Was wir finden, sind allenfalls Regeln. Was wir beschreiben können, sind Aufgabentexte, die die Anwendung dieser Regeln festlegen. Von daher ist offenkundig, dass diese altbabylonische Mathematik denn auch wie dargestellt, eine rein operativ strukturierte Mathematik war.

Dabei erlauben es die in diesen Regeln fixierten Operationen so – wie dargestellt – eben auch mit Werten umzugehen, die selbst im Bereich des Anschaulichen nicht zu bemessen sind. Die Tabelle und die in ihr formulierten Regeln machen auch das nicht mehr Anschauliche bemessbar. Das gilt nicht nur im Großen, sondern eben auch im Versuch, das Anschauliche im Kleinen auf die Zahl zu bringen. Schon die Diagonale in einem Quadrat lässt sich nicht einfach in natürlichen Zahlen darstellen. In einem Viereck mit den Seiten a, b, c, d ist die Transversale x – in unserer Notation – als Wurzel des Produktes von (a + b) durch 2 anzusetzen. Wir müssen also eine Operation formulieren, mit der die einfache Länge als Bezugsgröße auf die umgebenden, sie bestimmenden Größen bezogen und aus den für sie bekannten Maßen abgeleitet wird. Und genau dies vermag das Regelwerk der Altbabylonier, in dem es für jede dieser hier möglichen numerisch bemessbaren Beziehungen die Umrechnungsformel gibt, mit der die Diagonale darzustellen ist.

Das babylonische Verfahren ist dabei in der Herleitung der Berechnung kompliziert. Es erlaubt nur bestimmte Kombinationen von Größen, und bleibt für andere ohne genaue Werte. Für diese aber gibt die Tabelle Näherungswerte an, die dann auch für alle in diesem Kulturkreis Tätigen verbindlich sind. Demnach können sich hierin auch alle auf die vorgegebenen Näherungen in der gleichen Weise beziehen und entsprechend von etwaig erhaltenen Werten auch auf die Ausgangswerte rückrechnen.

Ähnliches gilt für den Umfang eines Kreises, dieser wird in einem Näherungsverfahren bestimmt. Die Formel, die zur Berechnung gewonnen wird, ist dabei wir folgt angesetzt: Der Umfang eines Kreises entspricht dem Produkt aus dem Durchmesser mal dem Faktor 3. Wie wird nun das Volumen eines Körpers, etwa als Hohlmaß, berechnet? Hierzu gibt es in Babylon das folgende Verfahren. Zunächst wird der Umfang eines Körpers berechnet, der Umfang wird zum Quadrat erhoben und dann mit dem Wert 0 ; 6 (in babylonischer Notation) malgenommen. All dies sind Standardisierungen die nicht in Formeln, sondern in Form von Regelwerken, die als Texte geschrieben sind, fixiert werden. Schließlich finden sich in den babylonischen Texten, die solche Verfahren beschreiben, keine Formeln.

Diese erläutern im Aufbau ihrer Sätze eine Handlungspraxis und beschreiben, ggf. in sehr kurzer Form, wie mit numerischen Werten umzugehen ist. Bei der Berechnung von speziellen Werten explizieren sie dann keinen Algorithmus, sondern verweisen auf Tabellen. Dargestellt wird also, dass und wie man einen Wert nach einem bestimmten Verfahren berechnet. Hierzu hat man in einer bestimmten Weise vorzugehen. Entsprechend wird das Berechnungsverfahren in Form einer Gebrauchsanweisung für die richtige Anwendung der verschiedenen zur Verfügung stehenden Tabellen formuliert. Dort, wo wir heute eine Formel ansetzen, um einen Wert bei vorgegebenen Faktoren zu berechnen, findet sich in der babylonischen Tafel der Hinweis: Nutze hier Tabelle x und sieh für die zu berechnenden Faktoren den qua Tabelle ermittelten Wert nach. Das heißt, auch die Verfügbarkeit von Tabellen grenzt die Verfahren ein, die Werte sind dabei ebenso verbindlich wie die Verfahren, nach denen diese zu nutzen sind.[4]

Babylonische Maße

Gewichtsmaße[5]

1 gú – Talent – 60 ma-na

1 ma-na – Mine – 60 gin (etwa 1 Pfund)

1 gin – Schekel

1 ma-na-tur – kleine Mine – etwa 1/3 gin

1 gin-tur – 1/60 gin

1 ^Se – Gerstenkorn – 1/180 gin

Längenmaße

1 U^S – 60 Nidan

1 Nidan – 12 ellen (etwa 6,24 m)

Beschreiben wir nun einmal eine altbabylonische Rechenaufgabe:[6] Vorgegeben ist ein Rauminhalt, dieser entspricht dem Rauminhalt eines Zylinders mit einer bekannten Höhe. Wie komme ich nun an den Wert vom Umfang dieses Zylinders? Vorgegeben ist ein Volumen d und eine Tiefe x. Um die Aufgabe zu lösen, muss ich das Verfahren der Volumenberechnung umkehren. Dieses geht wie folgt: Die Babylonier rechnen mit dem Längenmaß Nidan, dies entspricht etwa 6,24 m und ist unterteilt in 12 Ellen. Wir sind im Sechsersystem, entsprechend hat also eine Elle den Wert von 1/12 (notiert als 0 ; 5) eines Nidan. Nun ist im babylonischen Kalkül die Grundflächenberechnung nicht direkt möglich, sie läuft über die Darstellung des Umfanges, die Erhebung des Umfanges zum Quadrat (in Nidan) und dann die Multiplikation dieses Ergebnisses mit 0 ; 5 (das entspricht 5/60 also 1/12), damit ist das Volumen umgerechnet auf: Nidan mal Nidan mal Elle. Nun ist dieser Wert in das für das Getreide gängige Hohlmaß zu übersetzen. Auch hierfür ist zu multiplizieren.

Damit ist dann das Volumen berechnet. Drehe ich das Verfahren um, so ist zunächst das Getreidemaß wieder auf das Volumenmaß Nidan mal Nidan mal Elle zurückzurechnen. Dann ist durch die Höhe (in Ellen) zu teilen. Damit erhält man das Maß der Grundfläche. Hier ist nun die Quadratwurzel zu ziehen, damit ist der Wert für den Umfang ermittelt. Im umgekehrten Verfahren muss ich also mehrfach teilen und einmal die Quadratwurzel ziehen, dann erhalte ich dem Umfang; wird dieser gedrittelt, ist nach babylonischen Vorgaben auch der Durchmesser bestimmt.

Die einzelnen Schritte sind dabei derart beschrieben, dass die Aufgabe in Unterschritte geteilt ist, die es jeweils erlauben, die verfügbaren Tabellen zu nutzen. Nun ist dies Verfahren der Ermittlung von Durchmesser und Umfang eines Hohlmasses bei gegebenem Volumen und gegebener Höhe nicht einfach die Umkehrung des Verfahrens zur Volumenberechnung, ist doch für die Division nach babylonischer Rechenvorschrift der zu teilende Wert mit dem Kehrwert des Teilers zu multiplizieren. Das heißt, erst ist für einen Teiler der Kehrwert festzustellen (respektive der entsprechende tabellarisch vorgegebene Näherungswert einzusetzen), darauf ist der entsprechende Kehrwert mit dem Quotienten zu multiplizieren. Insoweit nutzte man in diesem komplizierten Verfahren einerseits die für die jeweilige Aufgabenstellung gegebenen Größen, erhält dann jeweils errechnete Größen, mit denen man weiterarbeitet, und nutzt bei der Umrechnung zudem auch Konstanten. Wobei hier in den babylonischen Texten, die solche Aufgabe formulieren, für die Konstanten keine Zahlen aufgeschrieben sind, sondern vielmehr die anzuwendenden Verfahren ausgewiesen sind. Aufgeschrieben werden in den Texten allerdings die vorgegebenen Größen und die jeweils erhaltenen Zahlenwerte. Wobei die Berechnung der Werte immer exemplarisch angegeben wird, nicht aber Formeln formuliert sind.

James Ritter publizierte zu dieser hier skizzierten Aufgabe folgende Übersetzung:[7] Wenn sein sila der (Inhalt des Hohlmasses in) Getreide ist und 1 6 40 meine Tiefe, wie viel sind sein Durchmesser und sein Umfang. Rechne 1 6 40 um, 13 20 ergibt es. Finde das Reziproke von 13 20, auf 4 30 beläuft es sich. Behalte es. Finde das Reziproke von 5 (der Umrechnungskonstante für den) Kreis, 12 ergibt es. Finde das Reziproke von 6 (der Umrechnungskonstante des) Getreidemaß, 10 ergibt es. Multipliziere 10 mit 12, 2 ergibt es. Multipliziere 2 mit 1 sila, dem (Inhalt in) Getreide, 2 ergibt es. Multipliziere 2 mit 4 30, auf 9 beläuft es sich. Berechne seine Wurzel, 3 ergibt sie, 3 ist der Umfang des Maßes. Nimm ein Drittel von 3, 1 als Durchmesser kommt heraus. So ist das Verfahren.

Das Verfahren ist kompliziert, die Darstellung ist kasuistisch. Gelehrt wird hier eine Kulturtechnik, ein Regelwerk, das es erlaubt, die vorhandenen Verfahren in standardisierter Form anzuwenden. Dabei ist das Verfahren zugleich auch an den übermittelten Korpus von Tabellen gebunden, erfordert also eine strukturelle Vorgabe und ist mit dieser verknüpft. Damit ist dieses Verfahren konservativ. Es lässt sich nicht einfach variieren, es lässt sich allerdings erweitern, indem etwa neu angelegte Tabellen verfügbar gemacht werden. Es ist aber eingegrenzt auf den Zahlenraum, der sich in dieser Weise darstellen lässt. Das wird dann für die Zahlen, für deren Kehrwerte nur Näherungswerte zu finden sind, etwa für Primzahlen oder – wir sind im Sexagesimalsystem – für die Potenzen von 7 problematisch. Schließlich sind Divisionen nur nach dem Reziprokenverfahren möglich. Dies ist aber nicht für alle Zahlen anwendbar. Demnach finden sich Lücken im berechenbaren Zahlenraum. Für die Kehrwerte der entsprechenden Zahlen werden dann Näherungswerte eingeführt. Die mathematischen Verfahren sind an diese Festlegungen gebunden, über die sich die Berechnungen auch verschiedener Personen standardisieren. Unschön dabei ist zudem, dass der Zahlenraum des Reziprokenverfahrens mit dem Zahlenraum des Multiplikationsverfahrens nicht einfach in Deckung zu bringen ist: Mit dem Siebenfachen einer Zahl lässt sich in Babylon arbeiten, für ein etwaiges 1/7 einer vorgegebenen Zahl sind aber nur Näherungswerte möglich. Allerdings benötigt man in Babylon für beides, Multiplikation wie die Bildung der Reziproken, Tabellen. Die Verfahren werden entsprechend mit dem tabellarischen Apparat tradiert und nicht bewiesen. Rechenoperationen vollziehen sich nach den Tabellen und entsprechend gibt es in Babylon: Multiplikations-Tabellen, Quadratzahl-Tabellen, Kubikzahltabellen und Kubikwurzeltabellen (Abb. 3.5, 3.7). [8]

Das Problem sind nun unterschiedliche Notationen, in denen ich bestimmte Operationen vollziehe. In dem Moment, wo es notwendig ist, verschiedene Verfahren abzugleichen, wird der Wert, der erhalten wird, für verschiedene Verfahren stehen. Über ihn werden dann auch unterschiedliche Verfahren aufeinander bezogen. Dann, wenn dies so ist, und dieser Wert so in verschiedenen Tabellen auftritt und nach unterschiedlich ausgerichteten Tabellen berechnet wird, bedeutet das, dass er sich zu einem zweiten Wert, der ggf. auch über beide Verfahren berechnet werden konnte, so verhält, dass er die nach beiden Verfahren möglichen Differenzen in einer dennoch eindeutigen Relation abbildet. Das ist ein wenig abstrakt, aber dann, wenn dieses gedacht werden kann, dann ist aus dem abzulesenden Wert einer Zahl ein Funktionswert gewonnen, der nunmehr ggf. auch erlaubt, die Differenz zu anderen Zahlen nach verschiedenen Verfahren abzubilden, und der demnach in sich als Zahl zu bestimmen ist. Dann, wenn solches in den Blick kommt, wird die Kulturtechnik mathematischer Verfahren in der Tat zur Mathematik. Dies passiert in der Antike im 2. Jahrtausend in der Konfrontation des ägyptischen und des babylonischen Berechnungsverfahrens. Schließlich entwickelten sich hier parallel zueinander Verfahren, die ihre Berechnungen in unterschiedlicher Weise vornahmen und nun im Handelsaustausch miteinander vermittelt werden mussten.

So gibt es in Ägypten – erwachsen aus einer eigenen Tradition, die wir noch kurz betrachten werden – eigene, von den hier vorgestellten unterschiedene Aufgabenstellungen und eigene Lösungseingrenzungen, so etwa in der Berechnung von Brüchen. Es gibt in Ägypten allgemeine Regeln zum Umgang mit Brüchen, die sich nicht einfach nur von den babylonischen Verfahren im Umgang mit Brüchen unterscheiden, sondern die schlicht mit anderen Zahlenwerten und anderen Zahlenreihen arbeiten, als dies die Babylonier tun. Auch die Ägypter nutzen Tabellen, um zu rechnen. Die verwandten Verfahren und die darauf aufbauend erstellten Tabellen sind aber anders organisiert als die entsprechenden Tabellen in Mesopotamien. Es finden sich hier also in Ägypten und Babylon je speziel-

Abb. 3.5 Altbabylonische Quadartwurzeltafel, Hilprecht- Sammlung Jena

le Verfahrensregeln, die es erlauben, die jeweils vorhandenen Tabellen zu nutzen: Sucht man nach Zahlen, von denen das Produkt und die Summe (oder Differenz) gegeben ist, so sind diese Zahlen in den beiden Kulturen, entsprechend den verwandten Kulturtechniken, nur bedingt ineinander abbildbar. So wird in Ex- und Importen zwischen diesen Bereichen nicht nur in den verschiedenen Maßsystemen, sondern auch nach verschiedenen Berechnungssystemen berechnet. Für verschiedene Werte finden sich in den beiden Berechnungssystemen keine Entsprechungen. Bestimmte Relationen, die in einem System abzubilden waren, um die Differenz zweier Termini zu berechnen, lassen sich nicht in das andere System übertragen, etwa weil die Ägypter nur in engen Grenzen mit gebrochenen Zahlen operieren können. Und dies gilt auch umgekehrt. Pragmatisch lässt sich dieses Problem durch Aushandeln von Umrechnungstabellen lösen. Für die jeweilige Kultur bleibt jedoch der Schock, zu erkennen, dass die jeweils eigenen, tradierten Kulturtechniken keineswegs automatisch allgemeine Gültigkeit reklamieren können.

Dabei war Mathematik im Zweistromland keineswegs eine untergeordnete Tätigkeit. Um 2000 vor Chr. schreibt Sulgi, ein König der dritten Dynastie von Ur: Als ich ein Kind war und zur Schule ging, lernte ich auf den Tafeln von Sumer und Akkad die Kunst des Schreibens. Unter den Jungen verstand es keiner so gut wie ich eine Tafel zu schreiben . . . Ich kann perfekt subtrahieren und addieren, bin darin geübt zu rechnen und Berechnungen auszuführen. Der gerechte Nanibgal, (die Göttin) Nisaba haben mir großzügig Weisheit und Verstand gegeben ... [9] Hier ist in der Tat die Mathematik noch unbestritten eine königliche Wissenschaft.

Nun beschränkt sich Mathematik in Babylon aber nicht einfach auf Berechnungsverfahren. Schon aus der Zeit um 2500 vor Chr. kennen wir Tontafeln, die die Umrechnung von Flächen in verschiedene Maße beschreiben. Um 1800 vor Chr. sind uns dann Aufgabentexte des oben besprochenen Typs verfügbar. Sie zeigen neben der hochentwickelten Rechentechnik auch geometrische Verfahren. Dabei beherrschten die Babylonier die grundlegenden Maßbeziehungen bei Dreieck, Viereck, bei einigen regelmäßigen Polygonen und beim Kreis. Aufgaben, in denen Volumenberechnungen von Bauwerken dargestellt sind, stehen neben Texten mit einer algebraischen Aufgabenstellung, wobei auch hier die exemplarische Darstellung charakteristisch ist. Vorgestellt werden dabei Verfahren anhand einer konkreten numerischen Lösung, wobei die Texte so formuliert sind, dass nach diesem Modell dann auch andere Zahlen eingesetzt werden können – So schließt eine entsprechende Darstellung mit der Floskel: . . . das ist das Verfahren.[10] Erleichtert wird solch ein exemplifizierendes Denken durch die Anlage sogenannter Serientexte, in denen einzelne Problemstellungen mit variierenden Faktoren durchgespielt werden.

Dabei zeigen altbabylonische Texte zur Geometrie in ihren Konstruktionen, dass bestimmte Verhältnisbeziehungen der Seiten am Dreieck und Einsicht in die Beziehung zwischen Winkel und der Höhe des Dreiecks erkannt waren. Der Wert für π wird mit 3, teilweise aber auch mit 3 1/8 als Näherungswert angegeben. Besonders interessant aber ist ein 1936 in Susa aufgefundener altbabylonischer Keilschrifttext, der zeigt, dass die Größenbeziehungen, die der Satz des Pythagoras ausweist, auch schon in Mesopotamien bekannt waren. Aufgaben wie sie der altbabylonische Text BM 85 196 formuliert, nutzen diesen Satz zur Problemlösung: Ein Balken(?) von der Länge 0 ; 30 [der gegen eine Mauer oder ähnl. steht] ist um 0 ; 6 mit der Spitze herabgerutscht. Wie weit hat sich das untere Ende von der Wand entfernt?[11]

Dabei wird auch deutlich, dass der Satz des Thales, demnach der Winkel am Kreis über einem Durchmesser ein rechter ist, schon in Babylon bekannt war. Allerdings finden wir keine explizite Darstellung dieses oder ähnlicher Sätze, sondern immer wieder nur Aufgaben, die aber in ihrem Lösungsversuch die Kenntnis der benannten Sätze voraussetzen. In einzelnen Fällen scheinen dabei aber auch Berechnungen solch einer Aufgabenstellung direkt einander zugeordnet zu sein, so dass jeweils eine der Berechnungen als Probe für die andere Berechnung angelegt zu sein scheint. Insgesamt wird hier einsichtig, dass sich das mathematische Denken nach 1800 vor Chr. von der bloß tabellarisch geleiteten, tradierten Berechnungstechnik löst. Darauf deuten nicht zuletzt die immer wieder gefundenen Illustrationen, die am Beispiel einer geometrischen Figur die Lageverhältnisse und die Beziehungen mathematischer Größen anschaulich machen, die dann der eingebundene Text wieder auf konkrete Größenordnungen zurückbezieht (Abb. 3.6). Hier ist in der Tat zu sehen, dass sich Berechnungsverfahren nicht mehr einfach nur im Rahmen von operativen Strategien entwickelten, die sich an einem einmal entwickelten Zahlenraum entlangtasten, sondern hier – in der Darstellung geometrischer Größen – von der konkreten numerischen Situation abstrahiert wird und die Verfahren sich zugleich in Form der Zahl auch wieder von der konkreten Einzelerfahrung etwa im Gelände oder am Beispiel des verrutschenden Stockes lösen lassen. Darstellung finden damit aber jeweils nur mehr Exempel prinzipieller Verhältnisbestimmungen von Körpern und Größen.

Die damit gewonnene Abstraktion kann nicht hoch genug eingeschätzt werden. Bedeutet dies doch, dass weit hinaus über das, was in der der bloßen Magie des Berechnens einer über die eigene Anschauung hinausführenden Zahl möglich war, nunmehr ein Verfahren gefunden ist, auch den konkret zugänglichen Erfahrungsraum derart in seinen Verhältnisbestimmungen neu zu vermessen. Hier wird in der Darstellung einzelner numerisch qualifizierter Gegebenheiten von der konkreten singulären Erfahrungssituation abgesehen. Es geraten prinzipielle Beziehungen einzelner Naturgrößen in den Blick. Aussagen, in denen etwa die Einsicht in Zuordnungsbeziehungen, die der Thaleskreis ausdrückt, formuliert wird, rekonstruieren ja nicht einfach nur einzelne Erfahrungsurteile. Sie nutzen vielmehr die Einsicht in einen prinzipiellen Zusammenhang, um mathematische Größen zu konstruieren und damit mögliche Zuordnungsbeziehungen einsichtig zu machen, ohne dass diese Einsicht dann wieder durch eine Einzelerfahrung abgesichert werden muss. Das ist der erste Schritt auf einen mathematischen Beweis hin. Dazu kommt, wie Wußing schreibt: Der Höhe der abstrakt-algebraischen Denkweise entsprechen auch die in der mesopotamischen Mathematik bewältigten Probleme. Im altbabylonischen Reich treten arithmetische, in der Seleukidenzeit (endliche) geometrische Reihen auf. Lineare, quadratische, kubische und biquadratische Gleichungen werden in verschiedenartigsten Formen behandelt. Schon in der altbabylonischen Zeit findet sich das Bemühen, für quadratische Gleichungen das Problem auf Normalform zurückzuführen. Einmal tritt sogar der Fall einer Gleichung vierten Grades auf, die sämtliche Glieder und vier reelle positive Lösungen besitzt: Gleichungssysteme werden gelöst, bis zu 10 Gleichungen mit 10 Unbekannten.[12]

  • [1] Vgl. H. Winckler, Die Gesetze Hammurabis in Umschrift und Übersetzung. Leipzig 1904
  • [2] https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Babylonian_numerals.svg <8.4.2013>
  • [3] Nach: Die Gesetze Hammurabis in Umschrift und Übersetzung von Hugo Winckler. Leipzig 1904, S. 9, S. 67, S. 69 f
  • [4] Zu entsprechenden Abb. vgl. etwa: <nelc.yale.edu/babylonian-collection>
  • [5] Hierbei liegen die Größen der Maße zueinander fest, die absolute Größe ist allerdings variabel
  • [6] Angelehnt an J. Ritter, Jedem seine Wahrheit: Die Mathematik in Ägypten und Mesopotamien. in. M. Serres, Hg., Elemente einer Geschichte der Wissenschaften. Frankfurt 1994, S. 73–107
  • [7] Ebd., S. 97–98
  • [8] Zu Abb. vgl. museumofmoney.org/babylon/index.html%20?page=9 <30.4.2013>
  • [9] Ebd., S. 77
  • [10] Ebd., S. 98
  • [11] H. Wussing, 6000 Jahre Mathematik. Bd. 1. Berlin, Heidelberg 2009, S. 135
  • [12] Ebda., S. 140
 
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