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5.4.3 Komplexe Bewertungsformel als Ergebnis des Totalmodells und Herleitung des Zukunftserfolgswertes als Partialmodell

Das Zustandsgrenzpreismodell erlaubt die Herleitung einer komplexen Bewertungsformel. Aus der kann wiederum der Zukunftserfolgswert (ZEW) als Partialmodell entwickelt werden, so daß die Anwendung des Zukunftserfolgswertverfahrens als finanzmathematischer Gegenwartswertkalkül bei der Ermittlung des Entscheidungswerts gerechtfertigt ist. Zugleich kann herausgearbeitet werden, welches dessen Anwendungsgrenzen sind.

Für den Beweis wird auf das Instrumentarium der Kapitalbudgetierung mit Hilfe der mathematischen Programmierung sowie auf das Dualitätstheorem der linearen Optimierung zurückgegriffen. Danach kann einer jeden Optimierungsaufgabe als Primalproblem ein eng verwandtes duales Problem zugeordnet werden, das Rückschlüsse auf die Zusammenhänge in der optimalen Lösung des Primalproblems erlaubt. Die Vorgehensweise soll nachfolgend aus Käufersicht und auf Basis der Einkommensmaximierung vorgestellt werden (vgl. Matschke und Brösel 2013, S, 253–268; sowie Hering 2014, S. 53–73).

Das Primalproblem ist im jetzigen Zusammenhang der Ansatz des Bewertungsprogramms. Der Zielfunktionswert P dieses Ansatzes ist als möglicher zahlbarer Preis zu maximieren. Die optimale Lösung dieses Primalproblems ist Pmax als Entscheidungswert des Käufers. In der Zielfunktion des dazugehörigen dualen Ansatzes geht es um die Minimierung der Opportunitätskosten K. Sie ergeben sich aus der Inanspruchnahme von Mitteln, um die Optimallösung des Primalproblems zu erreichen. Diese Mittelinanspruchnahmen drücken sich in den rechten Seiten der Restriktionen des Primalproblems aus. Zur Erfassung der Opportunitätskosten werden sie mit Dualvariablen bewertet. Im Optimierungsansatz des Dualproblems gelten für diese Dualvariablen Restriktionen. Im Optimum sind die Dualvariablen so festgelegt, daß die Summe der bewerteten rechten Seiten der Restriktionen des Primalproblems, also die Opportunitätskosten K, minimal sind. Die optimale Lösung des Dualproblems ist Kmin.

Es gilt nun, daß das Maximum des Primalproblems (mit Lösung: Pmax) gleich dem Minimum des zugehörigen Dualproblems (mit Lösung: Kmin) ist: Pmax = Kmin. Deshalb kann die Definitionsgleichung von K zur Berechnung von Pmax genutzt

werden, wobei die Dualvariablen im Optimum als Knappheitspreise zur Bewertung der Mittelinanspruchnahmen dienen. Die Definitionsgleichung von K lautet:

Die rechten Seiten der Liquiditätsrestriktionen bilden bKt als autonome Zahlungen und gUKt als Zahlungen des Bewertungsobjekts. Die rechten Seiten der Kapazitätsrestriktionen sind xmax. Die rechte Seite der Entnahmerestriktion ist ENBa max . Es Kj Ksind die Restriktionen des Primalproblems, d. h. des Bewertungsprogramms.

Die Dualvariablen sind die Größen dt bezogen auf die Sicherung der Liquidität zu den Zeitpunkten t, δ bezogen auf die Sicherung des Entnahmestroms und uj bezogen auf die Inanspruchnahme der Kapazität an Finanzierungs- und Investitionsobjekten j. Im Optimum des Dualproblems gilt dabei d0 = 1. Inhaltlich bedeutet dies, daß Zahlungen in t = 0 mit ihrem Zahlungsbetrag bewertet werden. Werden alle Dualwerte dt entsprechend der Beziehung dt/d0 := ρBe umgeformt, so können diese Ausdrücke als für das Bewertungsprogramm geltende Abzinsungsfaktoren ρBe Be Kt interpretiert werden. Sie lassen sich aus den endogenen Grenzzinsfüßen iKt, d. h. aus Grenzmaßnahmen im Bewertungsprogramm herleiten:

(vgl. Rollberg 2001, S. 178–179; Hering 2008, S. 182–185). ρBe besagt, daß 1 GE des

Zeitpunkts t > 0 im Zeitpunkt t = 0 ρBe GE wert ist. Künftige Zahlungen gehen mit ihrem Barwert in die Berechnung von Pmax ein, d. h., werden zeitabhängig umgerechnet oder diskontiert. Für die Dualvariable δ gilt im Optimum des Dualproblems δ = }, wKt • dt, so daß sie dem arithmetischen Mittel der mit den Dualvariablen dt t=0

gewichteten gewünschten Strukturfaktoren wKt des Einkommensstroms entspricht, oder wegen dt/d0 := ρBe und d0 = 1 auch δ =}, wKt • ρBe. Die Dualvariablen

t = 0

uj der nicht vorteilhaften, im Bewertungsprogramm nicht in Anspruch genom-

menen und damit auch „nicht knappen“ Finanzierungs- und Investitionsobjekte j nehmen im Optimum des Dualproblems den Wert 0 an. Vorteilhafte, im Bewertungsprogramm enthaltene Objekte j haben im Zeitpunkt t = 0 hingegen einen nichtnegativen Kapitalwert CBe
≥ 0. Da CBe einen heutigen, durch Abzinsung bestimmbaren Geldbetrag verkörpert, folgt die Identität von uj und

gKjt • ρKt . Mit CKj werden die im Bewertungsprogramm in Anspruch genommenen „knappen“ Investitions- und Finanzierungsobjekte bei der Bestimmung der Opportunitätskosten K bewertet.

Berücksichtigt man diese Zusammenhänge, so kann die Berechnungsgleichung für K wegen Kmin = Pmax zur Bestimmung von Pmax genutzt werden:

Eine Umstellung führt zu folgender Berechnungsformel für den Entscheidungswert Pmax, der sog. „komplexen“ Formel der Bewertung (vgl. Laux und Franke 1969, S. 214–218; Matschke und Brösel 2013, S. 258; Hering 2014, S. 54 f.):

Diese Formel besagt, daß der maximal zahlbare Preis Pmax als Differenz zwischen dem Kapitalwert des Bewertungsprogramms (vor Berücksichtigung eines Preises für das zu bewertende Unternehmen) und dem Kapitalwert des Basisprogramms berechnet werden kann, welches aufzugeben ist, wenn das Unternehmen zur Preisobergrenze erworben wird.

Der Zukunftserfolgswert ZEW des zu bewertenden Unternehmens ist dabei integraler Teil des Kapitalwertes des Bewertungsprogramms (vor Berücksichtigung eines Preises für das zu bewertende Unternehmen) und stimmt grundsätzlich nicht

mit dem Entscheidungswert Pmax aus Käufersicht überein. In der für den Käufer ungünstigsten Einigung, wenn auszuhandelnder Preis P und Entscheidungswert Pmax übereinstimmen, ist das Bewertungsprogramm sein optimales Programm nach einer solchen Einigung.

Eine weitere Umstellung bringt folgende komplexe Berechnungsformel für den Entscheidungswert Pmax aus Käufersicht:

oder Pmax = ZEWK (ρBe) + ΔKWBe−Ba (zur Anwendung der „komplexen“ Formel U Kt K

am Zahlenbeispiel vgl. Matschke und Brösel 2013, S. 264–266).

Danach setzt sich der maximal zahlbare Preis Pmax als Entscheidungswert des Käufers aus dem mit der „vereinfachten“ Berechnungsformel ermittelten Zukunftserfolgswert ZEWK (ρBe) zuzüglich einer nichtnegativen Kapitalwertdifferenz ΔKWBe−BaU KtK aufgrund von Umstrukturierungen vom Basiszum Bewertungsprogramm des Käufers zusammen. Es gilt: ZEWK (ρBe) = Pmax − ΔKWBe−Ba. Kommt U Kt Kes zu Umstrukturierungen zwischen Basis- und Bewertungsprogramm mit einem positiven Kapitalwert ΔKWBe−Ba > 0, so ist der Zukunftserfolgswert ZEWK (ρBe) =K U KtT

}, gUKt • ρBe kleiner als der Entscheidungswert des Käufers: ZEWK (ρBe) < Pmax.Ktt=1U Kt

Das über den Dualansatz zum Bewertungsprogramm des Käufers hergeleitete

Zukunftserfolgswertverfahren als Partialmodell führt folglich zu einer methodisch bedingten Untergrenze des Entscheidungswertes aus Käufersicht: Pmax ≥ ZEWK (ρBe). Dieser Zukunftserfolgswert auf Basis der Abzinsungsfaktoren des

U Kt

Bewertungsprogramms ist ein methodisch vorsichtig ermittelter Wert. Der Zukunftserfolgswert ZEWK (ρBe) kann den jeweiligen Entscheidungswert Pmax nicht

U Kt

überschreiten, sondern nur geringer als Pmax, allenfalls ihm gleich sein. Wenn

K > 0 gilt, kommt es zu einer methodisch bedingten Unschärfe bei Verwendung von ZEWK (ρBe) als Preisgrenze.

U Kt

Auch eine Obergrenze für den Entscheidungswert des Käufers läßt sich ermitteln. Ausgangspunkt hierfür ist das Dualproblem zur Bestimmung des Basisprogramms des Käufers. Die Obergrenze entspricht dem mit den im Basisprogramm geltenden Abzinsungsfaktoren ρBa errechneten Zukunftserfolgswert

T

Stimmen die Abzinsungsfaktoren ρBe Ba von Bewertungs- und Basisprogramm überein, so stimmen auch Ober- und Untergrenze überein, so daß sich Pmax als Entscheidungswert des Käufers unmittelbar mit dem Zukunftserfolgswertverfahren bestimmen läßt. Alle Umstrukturierungen vom Basiszum Bewertungsprogramm werden dann kapitalwertneutral vorgenommen, so daß K = 0 gilt (zu Varianten des Zukunftserfolgswerts als Entscheidungswert

vgl. Matschke und Brösel 2013, S. 312–339).

Analoge Überlegungen wie aus Käufersicht können auch im Hinblick auf den Entscheidungswert Pmin des Verkäufers angestellt werden (vgl. Matschke und Brösel 2013, S. 261–263; Hering 2014, S. 75–78). Strukturgleiche Berechnungsgleichungen lassen sich auch auf Basis anderer Zielsetzungen ermitteln (vgl. für die Zielsetzung der Vermögensoder Endwertmaximierung Hering 2014, S. 60–65 und zu einem Zahlenbeispiel Matschke und Brösel 2013, S. 344–352).

Stets gilt aber: Auf unvollkommenen Kapitalmärkten sind die möglichen Grenzmaßnahmen von der jeweils verfolgten Zielsetzung abhängig. Strukturgleiche Berechnungsgleichungen auf Basis unterschiedlicher Zielsetzungen führen keineswegs auch zu numerisch übereinstimmenden endogenen Grenzzinsfüßen und daher auch nicht zwingend zu gleichen Bewertungsresultaten. Auf dem unvollkommenen Kapitalmarkt ist je nach Zielsetzung des Bewertungssubjekts mit unterschiedlichen Bewertungsergebnissen zu rechnen – selbst bei gleichen Zukunftserfolgen des Unternehmens und übereinstimmenden Entscheidungsfeldern. Auch deshalb kann es „den“ Unternehmenswert nicht geben!

 
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