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2.1.2 Venn-Diagramme

Venn-Diagramme stellen gegenüber den Euler-Diagrammen eine weiter entwickelte graphische Methode dar, um ebenfalls Syllogismen zu veranschaulichen und deren Validität zu überprüfen, also ob Prämissen und Konklusionen gemeinsam wahr sein können oder ob sie sich widersprechen. Überschneidungen zeigen dabei Zusammenhänge der thematisierten Mengen auf.

Ein Venn-Diagramm besteht meistens aus zwei oder drei sich überlappenden Kreisen. Zwar gibt es auch Venn-Diagramme, die sich mehrerer Prädikate bedienen, und daher mehr als drei Kreise erfordern. Die Darstellung wird dann komplizierter und verliert an Anschaulichkeit, weshalb hier nicht darauf eingegangen werden wird. Schraffierte Flächen in einem Venn-Diagramm dienen herkömmlicherweise zum Kennzeichnen negativer Existenzaussagen, also von Eigenschaftskombinationen, die laut der Prämissen keine Menge enthalten. In den Schnittbereichen zweier Mengen werden gemeinsame Zugehörigkeiten festgestellt, indem diese Überschneidungsbereiche nicht schraffiert werden. Das heißt, in dieser Menge gibt es mindestens ein Individuum, das die Prämisse erfüllt (vgl. Löffler 2008, S. 154).

Löffler gibt in seiner „Einführung in die Logik“ (2008) eine genaue Anleitung anhand eines Beispiels. In dem ersten Schritt sollen alle beteiligten Prädikate eines Venn-Diagramms aufgestellt werden. Prädikate bestehen aus mehreren Wörtern der Prämissen und der Konklusion. Diese müssen in positive oder negative Existenzaussagen umgewandelt werden, denn nur Existenz oder Nicht-Existenz kann visuell als schraffiert oder nicht-schraffiert eingetragen werden.

Zur Erstellung eines Venn-Diagramms sollten umgangssprachlich formulierte Aussagen in eine syllogistische Form transformiert werden. Diese besteht in der Regel aus zwei Prämissen und einer Konklusion. Im zweiten Schritt werden drei sich überschneidende Kreise gezeichnet, die jeweils den Ober-, Mittelund Unterterm des Syllogismus (mit den entsprechenden Prädikaten) symbolisieren. Zur Prüfung der Validität des Syllogismus werden die Aussagen der Prämissen im Diagramm eingezeichnet (Schraffur oder Nicht-Schraffur).

Anleitung zur Erstellung eines Venn-Diagramms (Löffler 2008, S. 155):

1) Venn-Diagramm für beteiligte Prädikate anlegen;

2) Umformung von Prämissen und negierten Konklusionen in (bejahte oder verneinte) Existenzaussagen;

3) Eintragung negativer Existenzaussagen als Schraffuren;

4) Ergeben sich Widersprüche zwischen dem aus den Prämissen gebildeten Venn-Diagramm und der formulierten Konklusion, ist das Argument prädikatenlogisch ungültig.

Für das folgende Beispiel eines invaliden Arguments (vgl. Bierman und Assali (1996, S. 54 f.) wurden zunächst „Vögel“, „Säugetiere“ und „Reptilien“ als die drei Prädikate bestimmt und für jedes Prädikat ein Kreis gezeichnet. Die Überschneidung der Kreise ergibt jeweils eine Teilmenge (siehe Abb. 2.4):

1. Prämisse: Keine Säugetiere sind Reptilien

2. Prämisse: Keine Reptilien sind Vögel

3. Konklusion: Daher sind keine Säugetiere Vögel.

Abbildung 2.4 Beispiel eines Venn-Diagramms

Quelle: Bierman/Assali 1996, S. 55

Der nächste Schritt besteht darin, die Teilmengen der negativen Existenzaussagen zu schraffieren. Laut der ersten Prämisse gibt es keine gemeinsame Teilmenge von Säugetieren und Reptilien. Daher wird die Schnittmenge der Kreise mit dem Prädikaten „Säugetiere“ und „Reptilien“ schraffiert. Die zweite Prämisse besagt, dass es keine gemeinsame Teilmenge von Reptilien und Vögeln gibt. Daher wird auch ihre gemeinsame Teilmenge durch Schraffur markiert. Die Konklusion, dass Säugetiere und Vögel keine gemeinsame Teilmenge haben, lässt sich nicht aus den gegeben Prämissen folgern. Folglich muss dieses Argument als invalide gelten. Erkennbar wird dies im Diagramm, welches noch immer eine existierende Teilmenge von Vögeln und Säugetieren anzeigt.

Werden Inklusionsbeziehungen durch ein Venn-Diagramm veranschaulicht (z. B. alle Säugetiere sind Wirbeltiere), so wird durch Schraffur gekennzeichnet, dass kein Element der untergeordneten Kategorie außerhalb der Oberkategorie existiert (siehe Abb. 2.5).

Abbildung 2.5 Inklusionsbeziehungen im Venn-Diagramm

Quelle: Eigene Darstellung

In der Abbildung haben Vögel und Säugetiere keine gemeinsamen Elemente. Alle Vögel und alle Säugetiere wiederum gehören zur Menge der Wirbeltiere. Es gibt keine Vögel oder Säugetiere, die nicht den Wirbeltieren zugehören. Man kann an der Abbildung allerdings erkennen, dass der Nutzen von Venn-Diagrammen bei komplexen Argumenten schwindet.

2.1.3 Formale Darstellung

Um viele logische Probleme etwa in der Philosophie, der Mathematik oder Informatik darzustellen, sind die für alltägliches Argumentieren nützlichen bildlichgraphischen Veranschaulichungen ungeeignet. Das gilt bereits für die propositionale oder Aussagenlogik, in der die Wahrheit von Aussagen (Propositionen, Sätze) untersucht wird. Deshalb stützt man sich international auf die folgenden Symbole. Die Elemente des Arguments, die Propositionen werden durch beliebige Buchstaben repräsentiert. In Tab. 2.1 sind einige wichtige Symbole dargestellt, die zur Kennzeichnung und Verbindung von Aussagen benutzt werden.

Tabelle 2.1 Junktoren in der Aussagenlogik

Ein weitergehendes Mittel zur formalisierten Darstellung der logischen Verknüpfung zweier Aussagen stellen die sog. Wahrheitstafeln dar. In der zweiwertigen Logik (eine Aussage ist entweder falsch oder richtig) geben Wahrheitstafeln die deduktiv abgeleitete Wahrheit der Verknüpfung zweier Aussagen wieder.

Für die beiden per Konjunktion verknüpften Aussagen P und Q sieht die Wahrheitstafel folgendermaßen aus:

Tabelle 2.2 Wahrheitswerte bei der Konjunktion

P

Q

P / Q

W W F

F

W F W

F

W F F

F

Quelle: Eigene Darstellung

Laut Tab. 2.2 müssen bei einer Konjunktion sowohl P als auch Q gegeben sein („wahr“ sein), damit P / Q wahr ist. Wenn für P die Aussage steht, „Hans und Maria waren auf der Party“, dann ist diese Aussage nur wahr, wenn sowohl Hans als auch Maria tatsächlich auf der Party waren. Diese Feststellung klingt für uns banal, die Wahrheitsbestimmung wird jedoch rasch schwieriger, wenn Negationen ins Spiel kommen oder wenn verschiedene Feststellungen (Folgerungen) miteinander verknüpft werden.

 
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