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3.5 Evaluation der Trading-Ergebnisse mittels Hypothesentest

In den vorhergehenden Gliederungspunkten 3.2. bis 3.4. wurden drei gängige Vertreter existierender Typen von Performance-Maßen beschrieben, mit welchen im weiteren Verlauf der Untersuchung die Trading-Ergebnisse der Markttechnischen Handelssysteme auf der Grundlage historischer Daten im Backtesting-Verfahren [1] verglichen werden sollen. Parallel zu dieser Analyse empfiehlt es sich allerdings, die ermittelten empirischen Rendite[mittel]werte der Handelssysteme in ihren einzelnen Test-intervallen auf statistische Signifikanz, beziehungsweise leger formuliert auf ihre 'Güte' hin zu überprüfen. Um dieses Ansinnen zu realisieren, wird als Instrumentarium ein statistischer Hypothesentest zum Einsatz kommen. Allen Arten von Hypothesentests ist gemein, dass sie auf der Grundlage zweier sich gegenseitig ausschließender Hypothesen funktionieren, wobei die errechnete Validität der Nullhypothese H0 automatisch die Invalidität der Alternativhypothese H1 impliziert[2]. Die Annahme beziehungsweise Ablehnung einer Hypothese erfolgt auf der Grundlage einer zu bestimmenden Prüfgröße, deren Berechnungsvorschrift vom jeweiligen Testverfahren abhängig ist. Befindet sich diese Prüfgröße innerhalb eines im Vorfeld definierten Annahmebereichs, dann ist die Nullhypothese H0 beizubehalten, liegt sie außerhalb, dann ist die Nullhypothese H0 abzulehnen, was im Umkehrschluss bedeutet, dass die Alternativhypothese H1 signifikant ist.

Zum Zweck der Sicherstellung, dass die empirische Brutto-Überschussrendite eines Handelssystems im betrachteten Intervall nicht dem Zufall unterliegt, und damit signifikant ist, soll im Rahmen dieser Untersuchung der Binomialtest angewendet werden. Die Wahl dieses Instruments soll damit begründet werden, dass die Handelssysteme im Untersuchungsmodell ein offenes Handelssignal nur dann glattstellen, wenn entweder die Stop-Loss-Marke in entgegengesetzter Richtung zum eingegangenen Engagement touchiert wird, oder die Take-Profit-Grenze in Handelsrichtung erreicht ist, bei welcher realisierte Buchgewinne gesichert werden. Insofern kann jedes Handelssignal lediglich zwei Ausprägungsmerkmale hervorbringen, so genannte dichotome Merkmale[3], sodass nicht von einer stetigen Verteilung auszugehen ist, sondern von einer diskreten Verteilung. Auf Grund der Tatsache, dass es explizite Aufgabe der Binomialverteilung ist, die Anzahl der Erfolge in einer Serie gleichartiger und voneinander vollkommen unabhängiger Versuche darzustellen, deren Ausgang nur zwei Zustände hervorbringen kann[4], was exakt für das Untersuchungsmodell zutrifft, ist die Verwendung dieser Häufigkeitsverteilung obligatorisch.

Abbildung 15: Graph Wahrscheinlichkeitsfkt. einer binomialverteilten Häufigkeit mit p = 0,5 und n = 16 [eigene Darstellung]

Abbildung 16: Graph Verteilungsfunktion einer binomialverteilten Häufigkeit mit p = 0,5 und n = 16 [eigene Darstellung]

Die vorangegangenen beiden Abbildungen zeigen exemplarisch die Graphen einer binomialverteilten Dichtefunktion und die dazu gehörige Verteilungsfunktion, welche die kumulierten Wahrscheinlichkeiten wiedergibt[5].

Wie oben bereits dargelegt, besteht die Kernaufgabe der Binomialverteilung darin, die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Serie gleichartiger und voneinander vollkommen unabhängiger Versuche darzustellen, deren Ausgang jeweils zwei Zustände annehmen kann. Die aus jedem Versuch hervorgehende Zufallsvariable X kann folglich mit 0 für Misserfolg oder mit 1 für Erfolg versehen werden. Die Ermittlung der Wahrscheinlichkeit p für eine konkrete Serie mit k Erfolgen und n Versuchen, sowie Kenntnis über die Verteilung von Erfolg/Misserfolg [= p0] erfolgt über diese Wahrscheinlichkeitsfunktion[6]:

Formel 12: Wahrscheinlichkeitsfunktion der Einzelwahrscheinlichkeiten

Ein Hypothesentest kann grundsätzlich als einseitige oder zweiseitige Fragestellung formuliert werden und richtet sich nach dem speziell zu klärenden Sachverhalt. Statistisch hat die Wahl der entsprechenden Fragestellung zur Folge, dass sich bei einem zweiseitigen Binomialtest die Ablehnungsbereiche der Nullhypothese H0 an beiden Rändern der Verteilung befinden, während der einseitige Test folgerichtig lediglich einen Rand als kritischen Bereich definiert[7]. Der in der Untersuchung zu klärende Sachverhalt ist, ob die empirisch ermittelte Anzahl S an Erfolgssignalen der Markttechnischen Handelssysteme in den betrachteten Intervallen im Vergleich zu den insgesamt eröffneten Handelspositionen n signifikant größer einer zu bestimmenden Referenzanzahl S* an Erfolgssignalen ist, bis zu welcher das jeweilige Ergebnis statistisch als zufällig zustande gekommen betrachtet werden kann. Methodisch wird diese Fragestellung unter Verwendung eines einseitigen Hypothesentests beantwortet; im Speziellen handelt es sich um einen rechtsseitigen Hypothesentest. Die sich aus dieser Konstellation ergebenden beiden Hypothesen lauten wie folgt:

Nullhypothese H0:

p = p0 (die empirische Erfolgswahrscheinlichkeit ist gleich der theoretischen)

Alternativhypothese H1:

p > p0 (die empirische Erfolgswahrscheinlichkeit ist gro.er der theoretischen).

Für die zu verifizierende Alternativhypothese H1: p > p0 ist demnach die Grenze zu einem kritischen Quantil gesucht, bis zu welchem das Ergebnis als nicht signifikant betrachtet werden kann, unter Berücksichtigung einer individuell zu definierenden Irrtumswahrscheinlichkeit a[8]. Stochastisch ermittelt sich diese Grenze über einen kritischen Bereich K = {S*, S* + 1, …, n} wobei S* derjenige Wert ist, für welchen die kumulierte Wahrscheinlichkeit das Signifikanzniveau 1 – a erstmals übersteigt. Die mathematische Bildungsvorschrift zu eben beschriebenem Sachverhalt sieht wie folgt aus[9]:

P: Eintrittswahrscheinlichkeit des Erfolgsereignisses S

n: Anzahl aller Versuche

c:: Irrtumswahrscheinlichkeit

Formel 13: Kumulierte Einzelwahrscheinlichkeiten verglichen mit Irrtumswahrscheinlichkeit a

So die Nullhypothese H0: p = p0 durch den Signifikanztest falsifiziert und damit gleichzeitig die Alternativhypothese H1: p > p0 angenommen werden kann, wird automatisch impliziert, dass die empirische Rendite statistisch signifikant > 0 ist. Für diesen Test auf Signifikanz ist der grundlegende methodische Gedanke jener, dass die beobachteten Trading-Ergebnisse als Resultat eines Zufallsexperiments – als so genanntes Bernoulli-Experimen [10]– zu interpretieren sind, in welchem lediglich zwei Merkmalsausprägungen möglich sind, nämlich die Zustände a und b. Der Mittelwert, beziehungsweise Erwartungswert für beide Merkmale errechnet sich aus der Formel p0 x a + (1 p0) x b, wobei p0 auf die theoretische Wahrscheinlichkeit des Zustandes a abstellt. Der Inhalt der Nullhypothese besagt, dass bei einem Experiment der zu erwartende Mittelwert gleich 0 ist. Da bei einem Experiment mit einer endlichen Anzahl n an beobachteten Elementen ein solcher Mittelwert nur selten exakt den Wert 0 annimmt, sondern eher um diesen schwankt, sind unweigerlich Abweichungen nach oben und/oder unten hin zu verzeichnen. Im Kontext dessen, dass für die vorliegende Untersuchung die Merkmale a und b mit + 30 [Pips] und 30 [Pips] definiert sind, können größere Abweichungen vom Erwartungswert nur dann entstehen, wenn entweder die Erfolgsgegenüber den Fehlsignalen deutlich in der Mehrheit sind, beziehungsweise entsprechend die Fehlsignale gehäufter auftreten als die Erfolgssignale. Gesetzt den Fall, dass in einem Zufallsexperiment die Erfolgssignale die Fehlsignale augenscheinlich überwiegen, läge der empirische Mittelwert deutlich oberhalb des Erwartungswertes 0, sodass folglich auch der Schätzer der empirischen Wahrscheinlichkeit p für das Merkmal a über der theoretischen Wahrscheinlichkeit p0 liegt. In diesem Fall wäre unter Beachtung der jeweiligen Irrtumswahrscheinlichkeit a die Nullhypothese zugunsten der Alternativhypothese abzulehnen, sodass die Anzahl an Erfolgssignalen als signifikant zu erachten ist. Die methodische Schnittstelle zwischen einem signifikanten Überhang an Erfolgssignalen und einer als signifikant zu betrachteten Netto-Überschussrendite besteht in der Umkodierung der Stop-Loss- und TakeProfit-Marken in die binäre Darstellung 0 und 1 – beziehungsweise a und b – als mögliche Ausgänge des Experimentes. Wenn die empirische Anzahl a gegenüber der Anzahl b signifikant überwiegt, gilt dies ebenso für die Menge an Erfolgssignalen gegenüber Fehlsignalen. Weil allein die Erfolgssignale einen positiven Beitrag zur Netto-Überschussrendite leisten können, ist die Unterstellung legitim, dass eine signifikante Anzahl an Erfolgssignalen eine gleichfalls signifikante NettoÜberschussrendite impliziert. Somit gilt die Transformation: p> p0 rHS > 0.

Im Falle einer negativen empirischen Rendite soll getestet werden, ob diese signifikant < 0 ist. Dann gilt die Alternativhypothese H1: p < p0 unter Berücksichtigung eines zu bestimmenden kritischen Bereichs K = {0, …, S*}. S* ist hierbei derjenige Wert, für den die kumulierte Wahrscheinlichkeit letztmalig < Irrtumswahrscheinlichkeit a ist. Unter Beachtung des Signifikanzniveaus 1 a soll für diese Untersuchung die Irrtumswahrscheinlichkeit mit a = 5 % definiert werden, woraus sich ein Signifikanzniveau von 1 a = 95 % ergibt. Dieses Maß ist für empirische Untersuchungen gängig[11].

  • [1] Vgl. Schwager, Jack D.: a.a.O., Seite 846.
  • [2] Vgl. Gellert, W. / Kästner, H. / Neuber, S.: a.a.O., Seite 237.
  • [3] Vgl. ENZYKLO online Enzyklopädie, Stichwort: Dichotomie, URL: enzyklo.de /Begriff/Dichotomie, 09.12.2010.
  • [4] Vgl. Fahrmeir, L. / Künstler, R. / Pigeot, I. / Tutz, G.: Statistik, Berlin, 2001, Seite 250.
  • [5] In Anlehnung an Lembcke, Jörn: Elementare Stochastik – Vorlesungsskript, ErlangenNürnberg, 2006, Seite 128 ff.
  • [6] Vgl. Gellert, W. / Kästner, H. / Neuber, S.: a.a.O., Seite 59 f.
  • [7] Vgl. Hartung, Joachim: Statistik, Oldenburg, 2005, Seite 205 f.
  • [8] Vgl. Lembcke, Jörn: a.a.O., Seite 146 ff.
  • [9] Vgl. Hartung, Joachim: a.a.O., Seite 203.
  • [10] Vgl. Gellert, W. / Kästner, H. / Neuber, S.: a.a.O., Seite 55.
  • [11] Vgl. Bortz, Jürgen / Döring, Nicola: Forschungsmethoden und Evaluation, Heidelberg, 2005, Seite 30.
 
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